Sens de variation d'un suite avec intégrale (T°S)

[invite0b4399d6]

Bien le bonjour à vous! Après des heures (je ne plaisante pas) de recherches infructueuses, je le suis décidé à poster sur le forum car j'ai vraiment besoin d'une illumination divine en ce jour du seigneur .

Voici mes deux questions :

La suite est Un = Intégrale de n à n+1 de f(x) dx avec f(x) = xe(-x²).

1) Démontrer que pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1,

f(n+1) < un < f(n).

2)Quel est le sens de variation de cette suite pour n supérieur ou égal à 2?

J'ai testé Un+1 - Un ainsi que plusieurs bricolages, sans succès pour cette question. Si vous pouviez m'aider s'il vous plaît, je vous en serai très reconnaissant .
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour répondre à la deuxième question il suffit d'utiliser les encadrements établis à la première.

[Thorin]

deja, je te signale qu'une primitive de x.e^(-x²) est -0.5.e^(-x²), ce qui peut permettre un calcul de l'intégrale.

pour la question 1, je suppose que la fonction x.e^(-x²) est décroissante, et dans ce cas, on peut écrire que pour tout n, pour tout x appartenant à [n,n+1], on a :

f(n+1)<f(x)<f(n).
ensuite, on intègre cette égalité pour x variant entre n et n+1.
l'intégrale de f(n+1) pour x variant entre n et n+1 vaut f(n+1), car on intègre une fonction constante sur un intervalle de longueur 1.

on trouve alors l'inégalité demandée.

pour les variations, on a :
f(n+1) < un < f(n)
et, en appliquant la meme chose entre n+1 et n+2 :
f(n+2) < u(n+1) < f(n+1)
donc en mettant tout bout à bout :
f(n+2) < u(n+1) < f(n+1) < un < f(n), donc : u(n+1)<un.

[invite0b4399d6]

Je vais essayer de faire ces encadrements, car je dois avouer que j'avais sauté cette quesion pour uniquement me focaliser sur le sens de variation de la suite, et ce doit être là mon erreur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Quand il y a plusieurs questions à la suite, il faut TOUJOURS (et encore plus au niveau terminale) regarder si les résultats établis aux questions précédents ne pourraient pas être utiles. Même si on n'a pas réussi à les prouver, il faut faire comme si on avait réussi, et ne pas hésiter à s'en servir pour les questions d'après.

[invite0b4399d6]

Je te remercie vraiment Thorin, tu m'as bien aider.