Barycentre, ne comprend pas une correction !

[invitebacf5408]

Bonjour a tous!
Donc une partie de mon problem est dans le titre, mais je reprends ma situation, comme le bac approche, je suis donc plongé dans les révisions, et j'ai un gros probleme que je n'arrive pas a résoudre. En faite, je n'arrive pas a faire un annal sur les barycentres, et meme avec la correction je ne vois pas la méthode.
C'est le 4eme exercice http://www.math93.com/gestclasse/cla...e2006-corr.pdf et c'est la 3eme question je ne comprends pas :s,donc avez-vous une explication à me fournir ?
Merciii beaucoup !
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[Guillaume69]

Bonsoir,

sans l'énoncé, ça parait difficile

[invite7ffe9b6a]

En revenant dans le dossier source du lien on trouve assez facilement l'énoncé.
ici: http://www.math93.com/gestclasse/cla...ureatS2007.pdf


Bonsoir
On se place dans le repère on traduit les données barycentrique sous formes d'egalités vectorielles, on en déduit les cordonnées des points dans le repère.

Par exemple

(Le reperage du sommet du cube , c'est ok??? )

I est barycentre de (E,2) et (F,1). Donc on a



soit

soit

soit



Notons alors les coordonnées du vecteur I dans la base de l'énnoncé.

Dans cette base on a

et

donc



et



On reprend l'egalité vectorielle:




On remplace par les coordonnées des vecteurs (je note les vecteurs en colonne je trouve la présentation meilleur qu'en ligne)


qui conduit au systeme suivant (on egalise coordonnees par coordonnées)



On trouve



d'où

dans la base de l'énnoncé


Même chose pour les autres.
Cette méthode est sans doute un peu longue mais a le mérite d'être très claire je pense.


As-tu compris?

[tuan]

Salut,
Une autre formule plus simple et plus directe du barycentre :

Si I est le barycentre de (E,m) et (F,n) on a

I = (mE +nF) /(m+n)
ou encore
I = m/(m+n) E +n/(m+n) F

en notant I = OI = (x_I;y_I;z_I) etc.

[A voir en vidéo sur Futura]

[tuan]

Salut,
Une autre formule plus simple et plus directe du barycentre :

Si I est le barycentre de (E,m) et (F,n) on a

I = (mE +nF) /(m+n)
ou encore
I = m/(m+n) E +n/(m+n) F

en notant I = OI = (x_I;y_I;z_I) etc.

démo:
m IE +n IF = 0
m (E-I) +n (F-I) =0
m E +n F = (m+n) I

[invite48c158ca]

La solution proposée par Antho07 et se rapproche un peu de ce qui est fait dans la correction.
Moi je préfère une autre solution, par manipulation des vecteurs qui permet de ne pas avoir à résoudre un système d'équation, méthode certes un peu moins systématique mais qui permet de ne pas se prendre la tête dans les cas simples.
Cela-dit ça fait 13 ans que j'ai passé mon bas donc je sais pas si ça correspond encore à la façon dont ton prof veut que tu abordes le problème.

Avant de t'expliquer ma méthode, comme ta question était que tu ne comprends pas la réponse donnée par la correction, voilà ma réponse sur ce point: je pense qu'ils ont tout simplement utilisé les formules permettant de calculer les barycentres directement à partir de coordonnées.
Par exemple pour le barycentre I de (E;2) (F;1) on a la formule suivante pour l'abscisse: , c'est à dire que tu appliques à chaque coordonnée le coefficient du point correspondant et tu divises le tout par la somme des coefficients. Même formule pour les deux autres coordonnées, formules généralisables pour des repères orthonormés de différentes dimensions. Mais j'imagine que tu as dû voir en cours ces formules, qui permettent de ne pas se prendre la tête et d'obtenir les coordonnées d'un barycentre directement quand tu connais les coordonnées des autres points.

Sinon, je t'explique ma méthode.

D'abord je pense que tu avais remarqué la faute de frappe à la réponse de la première question pour , où il faut lire et non pas
Ma méthode est un peu différent de Antho07:
moi je pars de la formule
(sommedescoeff)=(coeffdeF)+(coeffdeB), pour n'importe quel point M (facile à démontrer à partir de la définition du barycentre donnée par Antho07 en insérant M partout dans les vecteurs, généralisable à n'importe quel nombre de points définissant le barycentre), tu as s'en doute vu ça en cours.
Comme c'est vrai pour tout point M, autant en choisir un qui nous arrange, comme un barycentre de deux points de trouve sur la droite passant par ces deux point, autant choisir l'un de ces deux pour faciliter la construction géométrique (puisqu'on demande de placer les points sur la figure), d'autant plus que là tu es en 3 dimensions avec une représentation en deux dimensions donc si tu choisis un point n'importe comment t'es pas sorti de l'auberge pour faire la construction géométrique. Bref, choisissons le point B histoire d'obtenir le même résultat que celui donné dans la correction. En remplaçant M par B, on obtient directement (bon d'accord il faut aussi faire passer le coeff de gauche à droite mais j'espère que, à quelques semaines du bac, tu sais faire ça directement (programme du collège))

Pour la troisième question. D'abord il faut prendre la définition de ce que sont les coordonnées d'un point dans un repère donné: dans un repère , les coordonnées d'un point P est le triplet qui sont les coordonnées de dans la base vectorielle , autrement-dit tels que . (Note pas forcément inutile: pour que soit une base, il faut qu'elle soit libre (c'est-à-dire que pour tout vecteur, il existe un unique triplet de coordonnées) et génératrice (c'est-à-dire que que tout vecteur possède des coordonnées dans cette base), donc faire attention si on te demandait de définir toi-même une base. En plus là on te dit que la base est normée alors qu'il y a des coefficient 1/3 devant les vecteurs, cela signifie que la base est dotée d'un norme ||.|| telle que ||(1/3)AD||=||(1/3)AB||=||(1/3)AE||=1, ce qui n'est donc pas la norme à laquelle on pourrait s'attendre intuitivement, donc faire attention si on te demande de calculer des normes dans cette base).

Bref, après ces considération d'ordre général, ce qu'il faut faire en pratique c'est donc de trouver l'expression de en fonction de , , , c'est-à-dire en pratique en fonction de , , et on fera apparaître le coefficient facilement à la fin.

La question est: comment trouvé cette expression! On pourrait partir avec la formule générale (j'oublie volontairement les coefficients 1/3 parce que c'est pas le problème), mais c'est un peu plus compliqué et on va finir par tomber sur un système d'équations à trois inconnues pour trouver les valeurs des coordonnées.

En fait il y a beaucoup plus simple: on partant de la formule générale du barycentre avec le M, qui donne dans ce cas . Comme je l'ai déjà dit, on choisit le M qui nous arrange, pour cette question c'est le A qui nous arrange (puisqu'on cherche ). Donc on a .

On remarque tout de suite qu'on a dans l'expression, qui est dans la base donc on n'y touche plus. reste à exprimer dans la base. Plutôt que de partir à l'aveuglette, on jette un oeil sur la figure et on se rend compte immédiatement qu'en "passant" par le point B ça nous arrange: , et par définition du cube on a .

Donc si on résume on a trouvé .
En réarrangeant ça pour faire apparaître les coefficients qui vont bien; on obtient . D'où les coordonnées (0;1;3).

Ça peut paraître long mais en fait c'est juste parce que j'ai mis plein d'explications. Par exemple pour les coordonnées de J, je montre ça plus rapidement:
(à partir de la formule avec M, en prenant M=A)
est dans la base on n'y touche plus.
Par ailleurs, (encore le même, on a déjà trouvé que
D'où
En réarrangeant les coefficients comme il faut on trouve donc
D'où les coordonnées (0;3;1) pour J

Pour le point K on fait pareil:
(à partir de la formule avec M, en prenant M=A)
Là ni ni ne sont dans la base, il faut donc trouver leurs expressions dans la base.
On jette un oeil sur la figure pour trouver çà rapidement:
, mais on sait que et par définition du cuble
Et pour les mêmes raisons
D'où
En réarrangeant les coefficients comme il faut on trouve donc
D'où les coordonnées (3;3;2) pour J

Donc tu vois que c'est finalement assez rapide et tu n'as pas besoin de calculer les coordonnées avec une formule apprise en cours (formules qui d'ailleurs se prouve avec ce genre de raisonnement) et encore moins à résoudre un système d'équation. La formule c'est très bien pour un ordinateur mais pour des cas aussi simples à faire à la main autant y aller directement.
Peut-être que tu me demanderas pourquoi je permets de dire des trucs du genre , et en justifiant pas la formule "par définition du cuble". En fait il est clair qu'on trouve ça rapidement en regardant la figure et qu'on t'as probablement appris que "voir une chose sur une figure" n'est pas une preuve. C'est vrai sauf que dans notre cas la seule définition qu'on nous a donné du cube est la figure. D'où est-ce que tu crois qu'ils tirent les coordonnées des points qu'ils donnent dans la correction. Certes les coordonnées de A, D, B et E se déduisent directement de la définition de la base, mais les coordonnées de F par exemple, dont tu as besoin pour utiliser la formule de calcul des coordonnées ou en utilisant la méthode de Antho07, à part en remarquant que je vois pas comment tu peux t'en sortir autrement. Il y a donc bien dans la donnée du cube ABCDEFGH le fait qu'il y ait une égalité entre différents vecteurs, ou plus formellement (il faudrait voir de quelle manière ils définissent exactement le cube à partir de la simple donnée "ABCDEFGH") suffisamment de propriétés pour en déduire l'égalité des vecteurs.

Voilà, donc j'ai largement dépassé le cadre de ta question qui était de comprendre leur correction (à mon avis ils ont juste utilisé, les formules de calcul sur les coordonnées) mais ça pourrait peut-être te servir pour faire des choses un peu différentes, ou à mieux comprendre le pourquoi du comment plutôt que d'utiliser directement un formule apprise en cours. D'ailleurs si tu utilises leur méthode, il faudra peut-être que tu penses à justifier d'où viennent les coordonnées des points que tu utilises pour faire le calcul, et pas comme si elles tombaient du ciel.

Une petit précision: évidemment dans ta copie du bac tu feras des vraies phrases pour montrer l'enchaînement de ton raisonnement et tu éviteras les présentations du type "P donc Q donc R donc T donc ... CQFD". (par exemple à la place de "donc" tu peux utiliser "on en déduit que...", "il s'ensuit que...", "à partir du résultat précédent on trouve...", "d'où le résulat...", en insérant une très brève explication à chaque fois pour justifier comment tu passes d'une ligne à l'autre), bref, à chacun son style de présentation mais n'oublie pas que l'impression générale que tu vas donner au correcteur peut compter (pas forcément énormément mais tout est bon à prendre), et les trucs répétitif donc...donc...donc...donc c'est pas le genre de truc qui fait bonne impression, les répétitions sont à éviter d'une manière générale en français, donc dans une copie de math aussi (qui est un texte expliquant ton raisonnement en français, dans lequel tu te permets de mettre des formules mathématiques pour que les choses soient claires et propres).

(désolé il se passe parfois des choses étranges dans les formules, j'ai pourtant bien vérifier qu'elle étaient écrites correctement... le générateur d'images à partir de formules latex semble avoir quelques problèmes)

[invitebacf5408]

Dans un premier temps, merci pour vos reponses, euhm je prefere faire la methode a antho07, sa me semble plus rapide ( et jaime bien faire des equations toutes simples ). Madhicar, merci aussi pour ta reponse et tes conseil d'application pour le bac, je vais les appliquer car moi jai toujours fais directement... Et sinon jai un dernier petit probleme pour me reperer dans la figure, c'est quoi la meilleur methode ? je fais encore des erreures pour certains points Merci!! et aufaite oui je l'avais vu lerreur dans la correction.