algebre generale

[invitea5f18638]

Une application f de R^2 dans R^2 definie par f(x,y) = (x, xy-y^2) est-elle injevtive, surjective
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[invite7ffe9b6a]

Même pas bonjour??

C'est la categorie lycée ici...

Pour la question, quelle est la définition d'une application injective?
surjective?


Que vaut f(1,0)?
f(1,1)?

On peut deja conclure pour une des deux questions.


On pourrait ensuite s'interesser à un antécedent éventuel de (0,1)

[invite6e71eaf9]

Bonjour,

Soit les deux couples (x,y) et (x',y') appartenant à R², on a :
f(x,y)=(x,xy-y²)
f(x',y')=(x',x'y'-y'²)

si (x',x'y'-y'²)=(x,xy-y²) alors on a:
x=x'
xy-y²=x'y'-y'²

soit: xy-xy'+y'²-y²=0

-x(y'-y)+(y'-y)(y'+y)=0

(y'-y) (y'+y-x)=0
y=y' ou y=x-y'

Ainsi les antécédents de f(x;y) ne sont pas uniques et f est définie en tout points de son ensemble de départ.
f est donc surjective.

[invite7ffe9b6a]

Bonjour,

Soit les deux couples (x,y) et (x',y') appartenant à R², on a :
f(x,y)=(x,xy-y²)
f(x',y')=(x',x'y'-y'²)

si (x',x'y'-y'²)=(x,xy-y²) alors on a:
x=x'
xy-y²=x'y'-y'²

soit: xy-xy'+y'²-y²=0

-x(y'-y)+(y'-y)(y'+y)=0

(y'-y) (y'+y-x)=0
y=y' ou y=x-y'

Ainsi les antécédents de f(x;y) ne sont pas uniques et f est définie en tout points de son ensemble de départ.
f est donc surjective.

Quel est un antécedent de (0,5) alors??

f est définie en tout points de son ensemble de départ.
f est donc surjective.

Ce n'est pas la définition de la surjectivité....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6e71eaf9]

Oui effectivement j'ai considéré dès le départ que tout élément de l'ensemble d'arrivé avait un antécédent par f sans m'occuper de savoir si l'ensemble d'arrivé se confondait réellement avec l'ensemble de départ.

Ce n'est pas la définition de la surjectivité....

Je voulais seulement préciser que f était bien une application...