PPCM et PGCD

[invitec32fdc61]

bonjour,
j'ai un problème pour résoudre une équation
on me demande trouver les couples solutions de l'équation
PPCM(a;b)-PGCD(a;b) = 1
avec a<b
on me dit qu'il y a un seul couple solution mais il faut démontrer si c'est vrai ou faux
le problème c'est que j'ai pas trouvé 2 couples qui pourrait marcher ni la démonstration pour trouver la solution
je ne sais pas vers où aller pour chercher
je sais montrer que si les nombres sont premiers entre eux, c'est pas possible
si a = 0 c'est pas possible non plus mais après je bloque

je vous remercie d'avance
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[danyvio]

Je ne me suis pas trop investi dans ton exo, mais je pense que tu dois utiliser la relation qui lie le ppcm et le pgcd de deux nombres ....

[invitec32fdc61]

je veux bien mais j'ai que
PPCM (a;b) * PGCD (a;b) = a*b
ou s'ils sont premier PPCM = PGCD
donc je vois pas trop par ou partir pke je suis bloquée avec les deux

[danyvio]

ou s'ils sont premier PPCM = PGCD

ça vient de sortir ?

Prends 7 et 11 PGCD = 1 (normal) mais PPCM = 77. Il n'y a pas de dérogation à PPCM.PGCD = ab

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec32fdc61]

je me ss trompée c'est si PPCM = 1 qu'ils sont égaux

[invite2220c077]

Si je pose x = PPCM et y = PGCD, alors, compte tenu du fait que xy = ab et x - y = 1, on obtient après somme (x-1)(y+1) = ab. Essaye de voir si tu peux t'en sortir avec cette relation.

[danyvio]

je me ss trompée c'est si PPCM = 1 qu'ils sont égaux

Encore NON : si a=b PPCM(a,b) =a = b

PPCM signifie : plus petit commun multiple . 1 ne peut pas être le multiple de quoi que ce soit (sauf de lui-même of course)

[invitee276fd2c]

si m est le ppcm et g le pgcd on a:
mg=ab donc m=a'b'g avec a=a'g b=b'g
donc on a a'b'g-g=1 soit g(a'b'-1)=1
donc g ne peut etre que 1 vu k g est naturel strictemùent positif et donc m=2 et donc ab=2 donc a=1 b=2 car a<b

[invitec32fdc61]

bon bah je vous remercie, je pense que ça a réglé mon problème

[invite2220c077]

Marrant, je n'avais pas trouvé le problème jusque là et voilà que mon prof nous le donne ce matin en classe pour nous entraîner. Voici, tout compte fait, la solution que j'ai trouvée.

On a a < b et PPCM - PGCD = 1. Par définition : PGCD <= a < b <= PPCM = PGCD + 1. Or entre PGCD et PGCD + 1 il n'existe aucun entier, d'où a = PGCD et b = PGCD + 1 = a + 1. Mais comme PGCD|b, alors on a a|a+1, ou encore a|a+1 - a, c'est-à-dire a | 1, d'où a = 1. Par suite b = 2.