Dérivées: questions diverses.

[invitea2ba4887]

Bonjour,
Je suis en train de faire un exo de maths (sur les dérivées). On me demande de calculer la dérivée de :
f(x)= -3x²+4x+5
Puis d'étudier la sens de variation de f.
Aucun problème à ce niveau-là. (f est strictement croissante jusqu'à 2/3, puis strictement décroissante).
J'ai juste un petit problème avec le corrigé : une note m'indique " on retrouve le sens de variation de f en écrivant que, pour tout x :
f(x)= -3(x-2/3)²+19/3 ".
J'ai retrouvé comment on aboutit à cette formule, qui est bien équivalente à f(x), mais je ne comprends pas en quoi elle permet de retrouver le sens de variation de f... Elle ne m'a pas l'air plus commode qu'une autre. Quel est donc son avantage ?

Secundo, pour étudier le sens de variation de f(x), je calcule la dérivée, puis calcule f'(x)= 0, pour avoir le point d'inflexion. Supposons que f'(x) = 0 quand x=2. Je calcule f'(1), et j'en déduit le sens de variation de f(x). (Si f'(1) est négatif, alors f(x) est décroissante jusqu'à deux et croissante ensuite, grosso modo). Je voudrais savoir si c'est une manière "orthodoxe" de faire, ou si je suis censée faire autrement... (résolution d'inéquation par exemple)

Enfin, comme ils repointent leur (affreux) nez avec les dérivées : je n'arrive pas à comprendre la différence entre minorant/majorant et maximum/minimum. Si quelqu'un avait un exemple "parlant", ça m'aiderait grandement.

Merci beaucoup.
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[invitea29b3af3]

Salut,

la forme "f(x)= -3(x-2/3)^2+19/3 " t'indique qu'il s'agit d'une parabole décalée de 2/3 vers la droite et qu'elle est en forme inverse d'un U car elle est multipliée par -3 (négatif). Si elle était multiplié par un nombre postif, elle serait dans l'autre sens (en forme de U). Par conséquent tu connais la concavité de la courbe: elle est "concave vers le bas", autrement dit ça te donne des indications sur sa dérivée.

[invitea2ba4887]

Ok, merci beaucoup.
(J'avais pas du tout pensé à ça, je voyais plutôt une formulation plus commode pour calculer f(b)-f(a) avec b<a et autres trucs du genre... C'est pour ça que je ne voyais pas du tout en quoi ça facilitait les choses).

[Flyingsquirrel]

Bonjour,

Secundo, pour étudier le sens de variation de f(x), je calcule la dérivée, puis calcule f'(x)= 0, pour avoir le point d'inflexion. Supposons que f'(x) = 0 quand x=2. Je calcule f'(1), et j'en déduit le sens de variation de f(x). (Si f'(1) est négatif, alors f(x) est décroissante jusqu'à deux et croissante ensuite, grosso modo).

Il peut arriver que la dérivée s'annule mais ne change pas de signe. C'est par exemple le cas de la dérivée de . On ne peut pas se contenter de dire que parce que est positive d'un côté alors elle est forcément négative de l'autre.

Je voudrais savoir si c'est une manière "orthodoxe" de faire, ou si je suis censée faire autrement... (résolution d'inéquation par exemple)

Il faudrait au moins vérifier le signe de la dérivée des deux côtés du (ou des) point(s) où elle s'annule. Mais il y a quand un cas où cette méthode ne marche pas : quand la dérivée n'est pas continue (ça arrive rarement ceci dit).

Enfin, comme ils repointent leur (affreux) nez avec les dérivées : je n'arrive pas à comprendre la différence entre minorant/majorant et maximum/minimum. Si quelqu'un avait un exemple "parlant", ça m'aiderait grandement.

Un majorant de la fonction sinus (par exemple...) c'est un nombre réel qui est supérieur à toutes les valeurs prises par cette fonction. Si j'appelle un majorant du sinus, on a donc pour tout réel . 2 est un majorant du sinus. 3 aussi. 42 aussi...

Un maximum c'est, quand elle existe, la plus grande valeur prise par la fonction. Dans le cas du sinus c'est . Une différence entre majorant et maximum est que si une fonction admet un majorant, elle en admet une infinité alors que si elle admet un maximum, il est unique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea2ba4887]

D'accord, donc si j'ai bien compris, je peux continuer à faire de ma manière à condition de tester toutes les "zones" de ma dérivée et de vérifier que ma fonction est (f(x)) est bien continue (Y'a t'il d'autres fonctions non continues (à mon niveau) autres que les tangentes et les fractions où x est au dénominateur ?)
Concernant, maximum et majorant : tout maximum est un majorant (et pas l'inverse), il existe pour chaque fonction une infinité de majorant dès lors qu'elle en a un, et, enfin une fonction n'atteint pas forcémnet son majorant alors qu'elle atteint son maximum.

C'est bien ça ?

(en tout cas, merci beaucoup)

[Flyingsquirrel]

D'accord, donc si j'ai bien compris, je peux continuer à faire de ma manière à condition de tester toutes les "zones" de ma dérivée et de vérifier que ma fonction est (f(x)) est bien continue

Non, c'est qui doit être continue, l'est forcément puisqu'elle est dérivable (si n'est pas continue il est possible qu'elle change de signe sans s'annuler, c'est pour ça que ton raisonnement ne serait pas valable). Ceci dit je n'ai pas souvenir d'avoir manipulé au lycée une fonction dont la dérivée n'était pas continue.

(Y'a t'il d'autres fonctions non continues (à mon niveau) autres que les tangentes et les fractions où x est au dénominateur ?)

Toutes ces fonctions sont continues sur leur ensemble de définition (mais pas sur , certes).

Un exemple de fonction non continue sur son ensemble de définition est la fonction partie entière : est défini comme étant le plus grand entier inférieur ou égal à .

• si appartient à on a
• si appartient à on a
• si appartient à on a ,
• etc

Le graphe de cette fonction ressemble à un escalier.

Concernant, maximum et majorant : tout maximum est un majorant (et pas l'inverse), il existe pour chaque fonction une infinité de majorant dès lors qu'elle en a un, et, enfin une fonction n'atteint pas forcémnet son majorant alors qu'elle atteint son maximum.

C'est bien ça ?

Oui !

[invitea2ba4887]

ok, j'ai compris.
Merci beaucoup et bonne soirée.