Question existentielle

[invite356bf811]

Bonjour à tous, je me pose quelques questions bêtes sur la théorie que se cache derrière la résolution d'équations à paramètre dans le corps des nombres réels.

Lors de la résolution d'une équation de variable x notée (E), il est courant de raisonner par implications en partant de (E) et de trouver des valeurs de x, qui sont des candidats de solutions:

(E) => ... => ... => ... => x = quelquechose.

Une fois les x trouvés, il faut les réinjecter dans (E) pour s'assurer qu'ils sont bien solutions de (E).

Exemple: (E): sqrt(x²-2x) = x-3 => x=9/4 or en réinjectant, x = 9/4 n'est pas solution de l'équation donc (E) n'a pas de solution réelles.

Cela est cependant moins facile dans le cas d'équations paramétrées.

Exemple: (E): sqrt(4x-m) = 2x+1 avec m un paramètre réel. Par implications, on trouve x1 = + (1/2)sqrt( -(m+1)) et x2 = -(1/2)sqrt(-(m+1)) avec comme condition m<=-1.

Ma question est la suivante: suite à ce raisonnement par implications successives, comment est-il possible de s'assurer que x1 et x2 sont bien des solutions de (E)?
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[invitedb2255b0]

Si tu raisonne par equivalence alors il n'est pas nécessaire de ré-injecter

[invite356bf811]

La méthode du raisonnement par équivalence est il donc le seul moyen de résoudre une équation avec paramètre? Il me semble bien que la méthode d'implications succéssives n'est pas possible.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Il faut avoir bien défini le domaine de définition pour commencer et les conditions sur x que ton équation impose...

Pour
L'intervalle ]0;2[ est l'ensemble des valeurs interdites pour le membre de gauche. Jusque là, tu vas me dire qu'il n'y a pas de problème pour 9/4 et tu auras raison
MAIS il y a une condition pour le membre de droite aussi : le membre de gauche ne peut être que positif donc x-3 doit être positif et par conséquent x>3.
Là, x=9/4 ça ne "marche" pas.

Duke.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb2255b0]

Et bien en théorie non, mais ton problème n'as enfait pas de solution réel:




C'est donc un polynome de degré 2. On a
Cette equation n'as de solution que si

Dans ce cas là Ce sont tes solutions qui étais mauvaise je crois

[Duke Alchemist]

On a
Cette equation n'as de solution que si ...

Dans ce cas là Ce sont tes solutions qui étais mauvaise je crois

Que vient faire le discriminant dans ce cas (simple) ? et comment trouves-tu ce 8 ? 4*4=16, non ?

Les solutions sont bonnes avec m<-1

[invitedb2255b0]

Pourquoi ?

Si j'ai
Alors
Non ?

[Duke Alchemist]

@ Malkovich

Pour compléter un peu

Tu as trouvé x1 et x2. Pour vérifier que c'est bon, il te suffit déjà de vérifier la deuxième condition c'est-à-dire 2x+1>0 soit x>-1/2.
Parmi tes deux solutions, y en a-t-il une fausse (en considérant les conditions sur m bien entendu) ?

EDIT : @ Mihisika. La fonction valeur absolue n'est-elle pas définie de dans ?

[invitedb2255b0]

Que vient faire le discriminant dans ce cas (simple) ? et comment trouves-tu ce 8 ? 4*4=16, non ?

Les solutions sont bonnes avec m<-1

Oui pardon c'est moi ... ca fait donc bien les solution que tu as dit. Mais seulement pour m<-1

[invite356bf811]

@ Malkovich

Pour compléter un peu

Tu as trouvé x1 et x2. Pour vérifier que c'est bon, il te suffit déjà de vérifier la deuxième condition c'est-à-dire 2x+1>0 soit x>-1/2.
Parmi tes deux solutions, y en a-t-il une fausse (en considérant les conditions sur m bien entendu) ?

EDIT : @ Mihisika. La fonction valeur absolue n'est-elle pas définie de dans ?

Il me semble que ma solution x2 = - (1/2)sqrt(-(m+1)) ne soit plus valable lorsque m<-2 car alors x2 <-(1/2) ce qui va contre x > -(1/2)

En fait, j'ai de plus en plus l'impression que le raisonnement par implication n'est pas possible pour résoudre des équations avec paramètre. Dire que x>-1/2 et que x>m/4 revient à changer l'implication en équivalence.

[invitecaefb4ee]

pour les deux sol lorsque m <= -1
il faudrait étudier si elles verifient 4x-m >= 0
perso je trouve que ça marche pour chacune des deux

[invitecaefb4ee]

la fct racine carrée est définie sur R+ par : le réel POSITIF qui au carré donne x.
Donc cette fct prend ses valeurs ds R+.
Quant à la fct valeur absolue, elle est définie sur R (tout entier) et prend ses valeurs dans R+ puisqu'elle est définie comme une distance.

[Duke Alchemist]

Re-

pour les deux sol lorsque m <= -1
il faudrait étudier si elles verifient 4x-m >= 0
perso je trouve que ça marche pour chacune des deux

Pour moi, sauf erreur bien entendu, les deux solutions sont vérifiées pour -2<m<-1 dont une solution double pour m=-1.
Ensuite pour m<-2, seule une des solutions est vérifiée car l'autre n'appartient pas à qui vaut pour m<-2

Cordialement,
Duke.

[invitecaefb4ee]

je vois où j'ai bugué:
lorsque m < -1, les deux sol vérifient 4x-m positif .

mais j'ai oublié l'autre condition à savoir x>= -1/2
en effet, d'accord avec toi, la 1ère sol marche pour tout m < -1,
la deuxième sol verifie les deux conditions pour -2<= m < -1.

[bubulle_01]

Pourquoi ?

Si j'ai
Alors
Non ?

Donc ? ...