Démonstration arithmétique

[tjou]

Bonjour,

pouvez vous m'aider à démontrer ça :

Soient a et b deux entiers naturels premiers entre eux, alors (a+b) et ab sont aussi premiers entre eux.

Je sais vraiment pas comment commencer. Merci.
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[erik]

Salut,

Suppose que (a+b) et ab ne soient pas premier entre eux, c'est à dire qu'il existe un q qui divise (a+b) et qui divise ab.
Voit quel conséquences cela entraine, tu devrais aboutir à une contradiction.

[Antho07]

Supposons par l'absurde que (a+b) et ab ne soient pas premiers entre eux.

 Cliquez pour afficher

Soit d un diviseur premier de (a+b) et ab

d divise ab donc d divise a ou d divise b

- si d divise a alors d divise a+b-a=b donc d divise a et b donc d=1

- si d divise b alors d divise a+b-b=a donc d divise a et b donc d=1



absurde...

EDIT:ne lit ceci que si tu n'y arrives pas avec l'indication d'Erik

[erik]

Le but du forum n'est pas de résoudre les exos à la place des gens !

Mais de les aider à comprendre, tjou a une solution super, mais ce n'est pas lui rendre service puisqu'il n'y a pas réfléchi, au prochain exo tu seras là pour lui faire ?


EDIT : désolé j'ai posté avant que tu passes ta solution en spoiler, on est donc ok

[A voir en vidéo sur Futura]

[Antho07]

Le but du forum n'est pas de résoudre les exos à la place des gens !

Mais de les aider à comprendre, tjou a une solution super, mais ce n'est pas lui rendre service puisqu'il n'y a pas réfléchi, au prochain exo tu seras là pour lui faire ?


EDIT : désolé j'ai posté avant que tu passes ta solution en spoiler, on est donc ok

pas de probleme, il n'est pas dans mon habitude de poster une solution de manière générale, regarde mes différents posts pour t'en convaincre. Je ne sais pas pourquoi j ai balancé la solution aujourd hui...., la chaleur surement ..

[Flyingsquirrel]

Supposons par l'absurde que (a+b) et ab ne soient pas premiers entre eux.

À quoi sert le raisonnement par l'absurde dans ta démonstration (à part à la compliquer ) ?

[erik]

Oui j'ai vu ça, je n'aurai pas du m'enerver autant, c'est vrai qu'il fait chaud aujourd'hui

[tjou]

Salut,

j'ai donc compris la première démonstration, mais du coup je me suis demandé si la réciproque était vraie :

a+b et ab premiers entre eux => a et b premiers entre eux.

J'ai cherché des contres exemples en vain, donc j'ai essayé de la démontrer de la même manière que précédemment.

Il y avait juste une chose sur laquelle je bloquais :

Si on a : d/a et d/b, est-ce que d/ab ?

Pour tout d, je n'en suis pas sûr, si d est premier je pense que c'est vrai (avec l'histoire de la décomposition en facteur premier par exemple).

Donc est-ce que cette propriété est vraie pour tout d, ou juste pour d premier ?

Merci

[bubulle_01]

Si divise , il divise tout multiple de .

La réciproque est vraie :
Suppose et non premiers entre eux.
Montre qu'alors nécessairement et ne sont pas premiers entre eux.
Ainsi, pour que et soient premiers entre eux, il faut que et le soient aussi.
Tu peux même utiliser le théorème de Bezout pour le montrer !