Fonctions

[inviteea8ef274]

Bonjour tout le monde,

Voila, il est demandé de déterminer toutes les fonctions f continues sur tel que:



Comment y parvenir? Je ne sais pas comment commencer?

Et merci en tout cas.
-----

[invitea6f35777]

Salut,

Commence d'abord en considérant des valeurs particulières de x et t et voir ce que ça donne. Ainsi tu verras que tu peux:

1- déterminer f(0)
2- exprimer f(2) en fonction de f(1)
3- plus généralement, exprimer f(n) en fonction de f(1) et de n, où n est un entier naturel
4-connaissant f(2009) tu peux alors en déduire f(1) et f(n) pour tout entier naturel n
puis ... ça devrait t'aider à démarrer, ensuite il faut que tu trouve le moyen de déterminer les valeurs de f en d'autres points, toujours avec l'équation pour au final trouver f.

[inviteea8ef274]

Salut,

Commence d'abord en considérant des valeurs particulières de x et t et voir ce que ça donne. Ainsi tu verras que tu peux:

1- déterminer f(0)
2- exprimer f(2) en fonction de f(1)
3- plus généralement, exprimer f(n) en fonction de f(1) et de n, où n est un entier naturel
4-connaissant f(2009) tu peux alors en déduire f(1) et f(n) pour tout entier naturel n
puis ... ça devrait t'aider à démarrer, ensuite il faut que tu trouve le moyen de déterminer les valeurs de f en d'autres points, toujours avec l'équation pour au final trouver f.

Merci,
Pourquoi determiner f(0)?
Je trouve que f(x)=f(1)*x

[invitea6f35777]

Re

J'ai juste détaillé des étapes mais on peut aller plus vite, après il faut rédiger soigneusement la solution et ne pas oublier l'hypothèse de continuité de la fonction, sinon il y a d'autres fonctions f possibles qui ne sont pas continues et qui sont plus compliquées

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea8ef274]

Re

J'ai juste détaillé des étapes mais on peut aller plus vite, après il faut rédiger soigneusement la solution et ne pas oublier l'hypothèse de continuité de la fonction, sinon il y a d'autres fonctions f possibles qui ne sont pas continues et qui sont plus compliquées

Comment faire pour l'hypothèse de continuité?

[invite3df497c3]

Bonjour !

Pour traduire l'hypothèse de continuité, tu peux utiliser le fait que f est continue en a ssi pour toute suite u_n tendant vers a, f(u_n) tend vers f(a)... (et donc passer d'une relation sur les rationnels à une relation sur les réels)

[inviteea8ef274]

Bonjour !

Pour traduire l'hypothèse de continuité, tu peux utiliser le fait que f est continue en a ssi pour toute suite u_n tendant vers a, f(u_n) tend vers f(a)... (et donc passer d'une relation sur les rationnels à une relation sur les réels)

OK merci.

[Seirios]

Bonjour,

Je ne vois pas très bien comment passer de la solution du problème à ; comment généralise-t-on le résultat ?

[Flyingsquirrel]

Je ne vois pas très bien comment passer de la solution du problème à ; comment généralise-t-on le résultat ?

Il faut passer par :

On étend le résultat établi sur à en utilisant le fait que si alors donc .

Ensuite on étend le résultat à en profitant de la continuité de et de la densité de dans .

[Seirios]

Donc le fait que soit dense dans permet d'encadrer tout irrationnel r par deux suites de rationnels tendant vers r, et par continuité, l'on peut alors étendre la solution à l'équation sur ?

[Flyingsquirrel]

Donc le fait que soit dense dans permet d'encadrer tout irrationnel r par deux suites de rationnels tendant vers r...

En fait une seule suite de rationnels tendant vers suffit. Si l'on sait que est dense dans , on peut se contenter de dire qu'une telle suite — appelons la — existe. Sinon on peut en construire une en posant, pour tout , (dit autrement : = « la troncature de à décimales ») et l'on peut vérifier que ce nombre est rationnel et que la suite tend vers .

Ensuite on se sert du résultat établi sur les rationnels en disant que pour tout , et l'on passe à la limite : . Le membre de droite vaut et, comme est continue, celui de gauche vaut . On a donc établit pour tout réel .

[Seirios]

D'accord, merci