DM sur les fonctions (Terminale S)

[kujablak]

Mon prof m'a donné un DM de 4 Exercices, mais j'ai beaucoup de mal à comprendre les questions et surtout la méthode associée ... Voici l'exercice qui me pose vraiment problème :

Soit f la fonction définie sur R* par f(x) = -x²+2x-1/x et Cf sa courbe représentative.

a) La courbe Cf admet-elle des tangentes horizontales, si oui, en quels points de Cf ?
(Quelles sont les conditions pour qu'une courbe admette une tangente horizontale ? Et comment s'en assurer ?)

b) La courbe Cf admet elle des tangentes parallèles à la droite d'équation y = (-2/3)x - 5, si oui en quels points de Cf ?

(Là pareil ... je ne sais pas comment vérifier qu'une courbe admet une tangente parallèle ...)

Est-ce que quelqu'un pourrait me rappeler la démarche à suivre ?
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[invite8bc5b16d]

Salut,

je te propose de réfléchir à quelle pente doit avoir chacune de tes tangentes, et de te demander comment calculer la pente de la tangente à une courbe en fonction de la fonction correspondante...

[kujablak]

Pour que la tangente soit parallèle il faut qu'elle est le même coefficient directeur que Cf nan ?
Et pour l'horizontale je pense qu'il faut qu'elle soit parallèle à l'axe des abscisses donc de coefficient 0 (?!)

[kujablak]

l'équation de la tangente c'est : y = f'(a)(x-a) + f(a) (je connais la formule mais je sais pas à quel moment l'appliquer ...)

Est-ce qu'il faut que je dérive f ? Mais à quoi ça servira ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8bc5b16d]

voilà, une tangente horizontale a une pente nulle...
par contre par abus de langage (ou par définition selon le point de vue), le coefficient directeur de Cf est égal à la pente de la tangente en ce point...
en revanche ce qui est vrai, c'est que deux droites parallèles ont le même coefficient directeur...

il ne reste plus qu'à savoir comment calculer cette pente en fonction de f ...

edit : oui voilà tu es sur la bonne piste...où apparaît la pente de la tangente dans l'expression que tu donnes ?

[kujablak]

Honnêtement j'en sais rien du tout =/ je connais la formule sans savoir d'où elle vient malheureusement ... Je vais chercher ça mais ça risque de prendre du temps ...

Nan finalement j'ai peut être une idée, je pense que la pente de la tangente c'est la dérivée de la fonction ...

[kujablak]

Mais en dérivant f j'obtiens : -x² + 2x - 1 / x² (mais ça me semble faux et surtout je vois pas en quoi ça m'indique la pente de la tangente ...)

[invite8bc5b16d]

Nan finalement j'ai peut être une idée, je pense que la pente de la tangente c'est la dérivée de la fonction ...

exactement !!

Mais en dérivant f j'obtiens : -x² + 2x - 1 / x² (mais ça me semble faux et surtout je vois pas en quoi ça m'indique la pente de la tangente ...)

t'aurais pas oublié de dériver une partie de la fonction ?

après tu sais qu'en un point a, la pente de la tangente est égale à f(a)....et toi tu veux savoir s'il existe a tel que f(a) = 0 par exemple...

[kujablak]

^^ En utilisant un peu mon cerveau, je pense qu'il faudrait continuer en résolvant le trinôme du second degré que j'obtiens après avoir dérivé :
(en admettant que ma dérivation soit exacte)

-x²+2x-1/x² = 0 ; -x²+2x-1 = 0 (voici mon polynôme)
le discriminant est donc égal à 4 - 4*-1*-1 = 0
la racine double est 1 (oui j'aurais du faire par la racine évidente mais bon =/)
Et là je bloque :s

[kujablak]

euh ... je pense qu'il y a bien une erreur mais en utilisant la formule u/v = (u'v - uv') / v² c'est ce que j'ai obtenu ...
u = -x² + 2x - 1 ; u' = -(1²) + 1x
et v = x ; v' = 1

[invite8bc5b16d]

ah en fait tout est divisé par x, je pensais que ta fonction était -x² + 2x -(1/x) = 0


donc oui il faut utiliser u/v, par contre u' = -2x+2...je vois vraiment pas comment tu as calculé ton u'....

et après tu as raison il faudra bien résoudre une équation...

[kujablak]

Merci pour la dérivée j'ai compris mon erreur ... Donc j'obtiens (-x²+1)/x² = 0 pour l'équation à résoudre donc : -x² + 1 = 0 ; x² = 1², x = 1 (comme tout à l'heure bizarrement ^^)

Là je pense qu'il faut utiliser la formule de l'équation de la tangente donc : y = f'(1)(x-1) + f(1) et j'obtiens f'(1) = 0 et f(1) = 0 donc y = 0 (?!)

[invite8bc5b16d]

attention, x² = 1 a deux solutions !


et oui sinon tu trouves comme tangente horizontale la courbe d'équation y=0, c'est-à-dire l'axe des abscisses...

[kujablak]

avec la deuxième solution de l'équation (-1) j'obtiens y = 2 donc je peux conclure, oui la courbe Cf admet 1 tangente horizontale d'équation y = 0 (axe des abscisses) et une tangente d'équation y = 2 ; mais comment répondre à la question ? En quels points de Cf ?

[invite8bc5b16d]

pour -1, on obtient y=4 et pas 2

en quels points de Cf, ca veut juste dire par quel point de Cf passe la tangente, c'est-à-dire pour la première tangente le point (1,f(1)) (soit (1,0)), et pour la deuxième le point (-1,f(-1)) (soit (-1,4))

[kujablak]

Oh ! Merci beaucoup pour cette aide ! J'ai tout compris donc je pense que je peux faire la deuxième question sans t'importuner ^^

Par contre la troisième question me semble bizarre :

3) La courbe admet-elle des tangentes passant par le point A(-3;4), si oui, en quels points de Cf ?
Mais si la courbe admet une tangente qui passe par A ... alors la réponse est : oui, en A ! (ça me semble logique comme réponse mais bon ...)

En tout cas merci pour ta patience =)

[invite8bc5b16d]

ah oui ta question me fait penser que je me suis peut-être mal exprimé dans ma réponse précédente, quand je parlais de point par lequel passe une tangente, je parlais du point auquel elle est tangente à la courbe, mais cela ne l'empeche pas de recouper la courbe de la fonction à d'autres endroit, donc de "passer" par d'autres points...

ici dans la troisième question, on parle de tangente qui passe par A dans le deuxième sens, c'est-à-dire une tangente à Cf en un certain point, qui "par hasard" passerait aussi par ce point A

Or tu sais que l'équation de la tangente en un point d'abscisse b de la courbe est y = f'(b)(x-b) + f(b). Si le point A(-3,4) appartient à cette droite, alors 4 = f'(b)(-3-b) + f(b). Il te faut donc chercher si il y a des points b qui vérifient cette équation...

[kujablak]

Okay, encore merci, par contre la tangente d'équation y = 2 n'est pas une tangente horizontale, puisqu'elle n'est pas de coefficient directeur 0 ... Je me trompe ?

[invite8bc5b16d]

si la droite y=2 est horizontale, le coefficient directeur est le nombre "devant" le x dans l'équation, ici on a bien y = 0*x + 2

[kujablak]

Ah oui, c'est vrai. Merci =)