recurrence

[invite9275173b]

Bonjour, j'ai un exercice où je dois prouver la récurrence de :
A) 5ⁿ⁺² < ( ou égal )4 ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺²
B) (5/4)ⁿ >(ou égal ) 1 + (n/4)

J'ai fait l'initialisation, jusque là aucun problème. Mais pour l'hérédité j'arrive à :
A) 5ⁿ⁺³>= 5 ( 3 X ⁿ⁺³ + 4 X3ⁿ⁺³ )
j'ai tout multiplier par 5,3 et 4 pour "passer de" n+2 à n+3 en puissance mais après je ne sais pas comment poursuivre.

B) (5/4)ⁿ⁺¹ >= (5/4)( 1+ (n/4))
(5/4)ⁿ⁺¹ >= (20 +5n)/16
Mais ensuite je n'arrive pas ... il faudrait ( pour prouver la récurrence ) arriver à : (5/4)ⁿ⁺¹ >= (5+n)/4 ...

Merci d'avance.
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[invitea3eb043e]

L'inégalité est inversée dans la ligne 1. En plus, ton hérédité est fausse : la puissance à droite, c'est n+2 et pas n+3.
Enfin, tu dois pouvoir montrer que 5 x n'importe_quoi_de_positif est supérieur à 4 x ou 3 x la même chose et là tu as l'hérédité.

[invite9275173b]

Oui, excusé moi pour l'inégalité inversé, par contre je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas n+3 ici ?
5n+3 <= 5 ( 3 X 4ⁿ⁺³ + 4 X3ⁿ⁺³ )
Puisqu'on avait pour P(n) :
5n+2 <=4 ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺²
Merci

[invitea3eb043e]

Quand on multiplie 4^(n+2) par 5, ça ne fait pas 5. 4^(n+3) et justement, tu as multiplié par 5 des 2 côtés.
En plus, c'est maintenant toutes les inégalités qui sont à l'envers !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9275173b]

Merci, j'ai tout compris ( en le refaisant un peu plus tard, après avoir fait autre chose ).
bonne nuit