sin x !

[invited2e6bc1d]

Bonjour,

J'ai un petit soucis pour mon Dm je bute sur la dernière question,
Je dois démontrer que pour tout réel x d [ 0 ; Pi/2 ] , sinx < x

Je ne vois pas vraiment par quel chemin m'y prendre si vous pouviez m'aider.
Merci
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[jiherve]

Bonsoir
peut être avec le développement limité de sin(x) divisé par x ?


sin x = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ...



JR

[invited2e6bc1d]

je ne sais pas mais je n'ai pas vu ce genre de chose en cours, en ce moment nous sommes sur les fonctions?!

[invitea3eb043e]

Fais un dessin et tu verras que ça revient à dire que la ligne droite est le plus court chemin entre 2 points.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited2e6bc1d]

Euh.. alors la je n'ai pas compris ??!

[invitee8f1871e]

Tu considères la fonction f(x)=x-sinx
calcule la dérivée
..et déduit
Bonne chance

[invitea3eb043e]

Euh.. alors la je n'ai pas compris ??!

Dessine le cercle trigonométrique de rayon 1 et prends un arc d'angle x de chaque côté (x entre 0 et pi/2). Appelle AB cet arc de cercle.
Tu verras que la longueur du segment AB, c'est 2 sin(x) tandis que la longueur de l'arc de cercle, c'est 2 x (parce que x est en radians).
Comme la ligne droite est plus courte, c'est que 2 sin(x) <= 2 x

[invited2e6bc1d]

j'ai comme dérivée 1-cos (x), pour les variations j'obtiens a la calculatrice une fonction croissante mais comment le justifier ?

[invitee8f1871e]

Tu as trouvé 1-cosx ..
On sait que -1< cosx<1
0<cosx-1<2
ca implique que f'(x) >0
eet voilà