maths spé. Divisibilité.

[invitea7ab5b3f]

Bonjour . Il me reste une seule question dans un DM mais qui est tout de meme importante.

Voici la question :

Démontrer que a + b divise a^n + b^n .

Merci beaucoup
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[invitea29b3af3]

Il doit y avoir une erreur dans l'énoncé... par exemple avec a=2,b=3,n=4:
2^4 + 3^4 = 16 + 27 = 43
et a+b=5, or 43 n'est pas divisible par 5....

[invitea7ab5b3f]

Soit a et b , deux entiers relatifs noon nuls et n un ntier naturel impair.
Démontrer que a+b divise a^n + b^n.

Excuse moi .

[Flyingsquirrel]

Soit a et b , deux entiers relatifs noon nuls et n un ntier naturel impair.
Démontrer que a+b divise a^n + b^n.

On peut le montrer par récurrence sur . (on peut aussi trouver une formule explicite donnant en fonction de mais quand on ne connait pas la formule en question c'est plus compliqué)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7ab5b3f]

récurrence sur n c'est quoi ? c'est dans un cours?

[Flyingsquirrel]

récurrence sur n c'est quoi ? c'est dans un cours?

Oui mais si tu l'avais vu en cours tu t'en souviendrais (je crois que c'est au programme de terminale). On va utiliser la deuxième méthode que j'ai mentionnée. Si l'on met en facteur au numérateur et au dénominateur on obtient

(ça n'est pas valable si mais dans ce cas là il est évident que divise ). L'intérêt de la manipulation est que le membre de droite est la somme des termes d'une suite géométrique. À toi de trouver laquelle (n'oublie pas que est impair) et de conclure.

[invitee8f1871e]

On peut utiliser la congruence Modulo et C'est facile à Déduire

[invite5150dbce]

Il doit y avoir une erreur dans l'énoncé... par exemple avec a=2,b=3,n=4:
2^4 + 3^4 = 16 + 27 = 43
et a+b=5, or 43 n'est pas divisible par 5....

3^4=9*9=81
C'est 3^3 qui est égal à 27
2^4 + 3^4 = 16 + 81 = 97
et a+b=5, or 97 n'est pas divisible par 5