Matrice ...

[invited5e08241]

Voilà un exercice qui me donne bien du fils à retordre ... si quelqu'un pouvait m'aider. J'écris la donnée:

On donne A.
Déterminer une matrice B telle que B soit triangulaire inférieure et que BA soit une matrice triangulaire supérieure.
Puis utiliser B pour résoudre le système suivant .

J'arrive vraiment pas pourtant c'est pas faute d'avoir essayé. Mais j'ai l'impression qu'il manque quelque chose pour résoudre cet exercice... .
De plus, une fois la matrice B trouvée (grâce au corrigé '^^) lorsque je l'utilise pour résoudre le système je ne trouve pas du tout la même réponse que le corrigé...
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[invitea3eb043e]

Tu noteras qu'on ne te demande pas LA matrice B qui... mais UNE matrice B qui ...
Donc tu vas prendre une matrice triangulaire inférieure générale et voir les conditions qui font que le produit B A est triangulaire. Ensuite, tu pifomètres les coefficients. Par exemple tu prends a11 = 1 et a22 = 1. En effet, tu as 3 relations pour 6 inconnues, alors tu es à l'aise.
On pourrait prendre pour B la matrice zéro mais ça n'aiderait pas pour la suite.

[sylvainc2]

Pour trouver B, une facon est de faire un pivot de Gauss sur les lignes de A. Chaque étape peut être écrite sous forme de matrice(B1, B2, etc..), et le produit de ces matrices B=B2*B1 est triangulaire inférieur (en autant qu'on n'a pas à faire de permutation sur les lignes de A), et le résultat du pivot est une matrice U triangulaire supérieure.

Ensuite pour résoudre le système Ax=b, puisque BA=U, tu peux faire:
Ux=Bb -> x = U^-1 Bb

U^-1 existe et est facile à calculer car U est triangulaire, et Bb est aussi facile. Mais je ne sais pas si c'est comme ca que le corrigé dit de procéder.

[invited5e08241]

@Jean-paul: Merci je n'avais pas saisi la subtilité '^^. Dans un premier temps j'avais déjà dans l'idée de prendre des 1 sur la diagonal. De plus lorsque j'ai vu la réponse qui en possédait je me suis dit que c'était comme ça qu'il fallait faire mais qu'il y avait une raison derrière cela. Je n'ai pas pensé au pifomètre ...

@Sylvainc2: Bas à vrai dire, le corrigé n'aide pas vraiment dans la mesure où il n'y a que les réponses. D'ailleurs, je ne pense pas que j'aurais trouvé si tu ne m'avais pas fait remarqué que l'on trouvait BAx=Bb et non x= ... . Faut dire que je voyais pas vraiment l'intérêt de calculer B et non A^-1 mais là c'est tout bon.

Merci encore à vous deux vous m'avez été bien utile !

[A voir en vidéo sur Futura]