Suites et recurrence terminale S

[invitecae94c77]

Soit la suite U définie par Uo= 1
Un+1= ((Un)+2)/((Un)+1)

On nous demande de démontrer par récurrence que pour tout n entier naturel, Un≥1. Mais le problème c'est que je ne sais pas vraiment par ou commencer.

On nous precise qu'on pourra lors de l'hérédité calculer (Un+1)-1 et monter que comme Un≥1 on a (Un+1)-1≥ 0 (attention on n'a pas le droit de diviser membre à membre des inégalités.


voila ce que j'ai fait :

Uo=1 Uo≥1 propriété vraie pour n=0

Soit n entier naturel quelconque on suppose que Un≥1

(Un+1)-1= ((Un)+2)/((Un+1) -1
=3/((Un)+1) Voilà ce que je trouve mais je suis bloquée, je ne sais pas quoi faire après ça! Merci de m'aider !
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[invite0a0c7f79]

Ca doit être 1 plutôt que 3 au numérateur je pense. Puis il me semble que c'est fini, non ? ton membre de droite est bien positif, donc tu as ce que tu voulais.

[hhh86]

Soit la suite U définie par Uo= 1
Un+1= ((Un)+2)/((Un)+1)

Pour démontrer le caractère héréditaire :
On a Un+1= ((Un)+2)/((Un)+1)=1+1/((Un)+1)
Or d'après l'hypothèse de récurrence, Un>=1 donc (Un)+1>=2
D'où (Un)+1>0
<=> 1/((Un)+1)>0
<=>1+1/((Un)+1)>1
Donc Un+1>=1 CQFD

[invitecae94c77]

(Un+1)= ((Un)+2)/((Un)+1)=1+1/((Un)+1) ? je ne comprends pas pourquoi c'est égal à 1+1/((Un)+1)!

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

(Un+1)= ((Un)+2)/((Un)+1)=1+1/((Un)+1) ? je ne comprends pas pourquoi c'est égal à 1+1/((Un)+1)!

t'es bien d'accord que (Un)+2=(Un)+1+1 ?

[invitecae94c77]

Ah oui bien sûr