Arithmétique basique spé Maths.

[invitefe34e79f]

Bonjour j'ai besoin de votre aide pour un Dm de spé maths.


Montrer que pour tout entier a > 1 : (a^d)-1 divise (a^n)-1

Je peux montrer que d < n , donc que n=K+d, et donc a^n=(a^k)*(a^d)=a^(k+d), mais je suis pas sur que ça soit très utile...


Si vous voulez bien me donner un coup de main, merci. (On a pas encore touché aux congruences, donc juste les bases peuvent être utilisées).

Bonne journée.
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[invitea29b3af3]

Salut

tu n'aurais pas oublié de nous donner quelques indications sur d et n ? Je suppose que ce sont des entiers, d'accord, mais par exemple si je prends a=2, d=3 et n=4, alors a^d-1=7 et aⁿ-1=15, et 7 ne divise pas 15...

[invitefe34e79f]

Oups désole, n est un entier naturel et d un diviseur positif de n

Merci.

[invitea29b3af3]

Si d est un diviseur de n, alors tu peux écrire n=kd, où k est un entier positif. Donc :

Tu poses par exemple (x est donc un entier), et donc il faut montrer que:
autrement dit :


Tu peux par exemple montrer ça par récurrence:
1) tu vérifies que c'est vrai pour k=0 ou k=1 ---> ok
2) tu poses l'hypothèse que c'est vrai pour tout k>0 (ou 1), donc que , où m est un nombre entier.
3) tu vérifies que c'est vrai pour k+1, autrement dit tu montres que :
.
Donc:
, où m est un nombre entier (par l'hypothèse faite précédemment). Donc comme x et m sont entiers, alors (xm+1) est forcément entier c'est démontré.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bubulle_01]

Ou sinon tu reconnais la somme des termes d'une suite géométrique.

[invitefe34e79f]

Merci beaucoup, ça m'a beaucoup aidé.

Mais maintenant, je me retrouve avec un autre petit problème que je pensais pouvoir résoudre seul...

Plan (P) rapporté othonormale direct (o,i,j), on considère les points A(1;1) et b (-4;-1). A tout point M(x;y) on associe M' (x';y') el que OM=2AM+BM avec x et y entier naturel et 1=<x=<8 et 1=<y=<8.

1.Exprimer x' et y' en fonction de x et y.
Fait, avec les cordonnes des vecteurs.

2. On note G et H, l'ensemble des valeurs prises par x' et y'. Ecrire la liste des éléments de G et H
Fait, en utilisant 1), et en remplacant x et y par leur valeur.

3.Montrez que x'-y' est un multiple de 3.
Fait, j'ai montré que x'-y'=3(quelquechose)

4.Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont la même parité.
J'ai pris a et b pair, ce qui donne a+b et a-b pair
J'ai pris a et b impair, ce qui donne a+b et a-b pair aussi.
J'ai pris a pair et b impair et j'ai prouve que a+b et a+b sont impairs.

5.On se propose de déterminez tous les couples (x',y') avec x' dans G et y' dans H tels que m=x'²-y'² soit un multiple de 60.
Montrez que dans ces conditions le nombre x'-y' est un multiple de 6. Le nombre x'-y' peut il être un multiple de 30.

Je sais que x'-y' est un multiple de 3, et donc certaines valeurs sont aussi multiples de 6 (tel que 6,12,18,...) mais j'arrive pas à le prouver avec les conditions données. Et puis je présume que le résultat s'etends au multiple de 30 ? Je suis coincé là...

6. En déduire que si x'²-y'² est un multiple non nul de 60, x'+y' est un multiple de 10 et utiliser cette condition pour trouvee tous les couples (x';y') qui conviennent. En déduire les couples (x;y) correspondant aux couples (x';y') trouvés.

Pareil je sèche la aussi...

Merci beaucoup pour votre aide.