Aire d'un rectangle par son périmètre, compliqué.

[invitea0fe9090]

Bonjour, alors voilà, ayant loupé une semaine de cours pour cause de grippe, je suis bloquée sur un DM qu'on m'a donné pour demain, c'est pour cela que je sollicite votre aide pour m'aider à résoudre ce problème, me donner une direction à suivre.

On appelle x l'une des dimensions d'un rectangle de périmètre p fixé (x et p en cm).

1°) On note A(x) l'aide, en cm², d'un tel rectangle.
Démontrer que :

A(x)= p²/16 - (x- p/4)² avec 0 < ou = à x < ou = à p/2

2°) Démontrer que, parmi les rectangles de périmètre p fixé, celui dont l'aide est maximale est un carré.


Alors pour le 1°) j'ai pensé à simplifier le calcul pour commencer,

A(x) = p²/16 - (x- p/4)²
= p²/4² - (x² - p²/16)
= p²/4² - x² + p²/4²
= 2p²/4² - x²

Et voilà je suis bloquée & persuadée d'avoir faux.

Merci d'avance de votre aide.
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[invite13297068]

Attention (a-b)² = a²-2ab+b², donc (x- p/4)² et (x² - p²/16) ce n'est pas pareil.

A(x) = p²/16 - (x- p/4)²
A(x) = p²/16 - (x²-p/2+p²/16)
A(x) = -x² + p/2

[invitea0fe9090]

Ah oui d'accord, mais je ne vois pas en quoi je dois démontrer l'aire.
De quoi je dois partir pour la démontrer & arriver à ce résultat.

[invitea0fe9090]

Ah oui d'accord, mais je ne vois pas en quoi je dois démontrer l'aire.
De quoi je dois partir pour la démontrer & arriver à ce résultat.

L'homme devrait mettre autant d'ardeur à simplifier sa vie qu'il en met à la compliquer.
[Henri Bergson]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite13297068]

Alors d'abord, je rectifie un truc, j'ai fait une erreur au dessus :

A(x) = p²/16 - (x- p/4)²
A(x) = p²/16 - (x²-px/2+p²/16)
A(x) = -x² + px/2

Donc p c'est le périmètre, x est la mesure d'un côté du rectangle (par exemple longueur), appelons y la mesure de l'autre côté (comprendre par là largeur si x est la longeur et vice versa).

On a p = 2x + 2y
Donc y = (p-2x)/2

A(x) = x * y
A(x) = x * (p-2x)/2

Continue, si je ne m'abuse tu trouveras bien A(x) = px/2 - x²

[Titiou64]

bonjour,

Tu as trouvé en développant que p²/16-(x-p/4)²=p²/16-x²+px/2-p²/16=px/2-x².
Tu connais p=2(x+L).
Tu sais que A=x*L
Donc a partir de ces 2 égalités tu peux écrire A en fonction de x et p et regarde ce qu'il se passe.

Pour la question b), fais une étude de fonction (dérivée) puis trouve la valeur de x. Tu verras immédiatement que la réponse correspond à un carré.

Bonne chance

[invitea0fe9090]

Merci, je vais me faire une pause chocolat chaud & essayer de tout comprendre vos raisonnements, car je me perds entre vos deux réponses, ceci m'aide beaucoup.
Merci, merci, merci.