Bonjour,
Tout le monde sait que l'aire d'un rectangle est calculé par c1*c2 avec c1 la longueur d'un côté et c2 la longueur d'un des côtés adjacents au premier.
Mais pourquoi? Y a-t-il une démonstration? Est-ce un axiome? Si oui alors est-il possible de définir l'aire autrement?
Merci.
Bonjour,
Peut-être serait-il possible de la définir en intégrant une fonction constante, mais à condition de définir l'intégrale autrement que géométriquement, utilisant l'aire d'un rectangle.Mais pourquoi? Y a-t-il une démonstration? Est-ce un axiome?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bien vuEnvoyé par Phys2
Oui j'y ai pensé mais la formule d'aire d'un rectangle a été inventée bien avant tout ces outils d'analyse, en fait j'aimerais savoir comment ils ont fait.
Plop,
Historiquement parlant, aucune idée... Je suis en train de me dire que c'est ptet parce que aire rectangle = 2* aire triangle rectangle, aire du triangle rectangle qui aurait pu être trouvée antérieurement...
Je pense que l'approche devait être plutôt intuitive, comme on nous l'introduit dans les petites classes, en décomposant le rectangle en carrés.Oui j'y ai pensé mais la formule d'aire d'un rectangle a été inventée bien avant tout ces outils d'analyse, en fait j'aimerais savoir comment ils ont fait.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Je vois pas ce qu'il y a de vraiment intuitif dans coté*coté...
Mais le piste de MiMoiMolette est peut être la bonne...
Personnellement, j'aurais plutôt dit l'inverse, que l'aire du triangle rectangle avait été trouvé à partir de l'air du rectangle...
If your method does not solve the problem, change the problem.
Je viens de faire une recherche rapide, rien trouvé sur l'aire du rectangle, mais il faut remarquer que l'aire d'autre figure est déduite très souvent de celle du rectangle...
Donc je serais plutôt de l'avis de Phys2, on ne peut pas dire que la formule L*l soit "axiomatique", mais elle est intuitive... Un rectangle de 15 unités d'aire est composé de 3 lignes de 5 ua, ça relève plus du calcul de retrouver 3*5=15 que de la géométrie...
Mais je ne suis sur de rien...
En tout cas la réponse m'intéresse, si quelqu'un trouve
+++
Il faut se dire que si l'on superpose une infinité de lignes de longueur L sur une distance l , on obtient l'aire d'un retangle. Or chaque ligne a une largueur infinitésimale .
Donc on utilise les nombres entiers pour modéliser cette superposition .
Cependant c'est intéressant de se demander pourquoi et comment cette superposition d'une infinités de lignes de largeur (nulle) conduit à quelque chose de fini . C'est ce qui a mené les mathématiciens à faire du calcul intégral .
Mais en ce qui concerne une démonstration pure , je ne pense pas que cela existe , sachant que l'aire proprement définie comme telle est une définition axiomatique plus qu'autre chose
Pour l'instant on est deux à dire qu'il s'agit d'un axiome. Qui a raison?
Bonsoir,
Il faudrait commencer par le début: c'est quoi l'aire d'une surface?
Sans définition a priori, pas de démonstration...
Et même avant de parler d'axiome, faut la définition.
Autre question, c'est quoi un "rectangle"? (Si je le définis comme un parallélogramme dont l'aire est égale au produit des côtés, comment pensez-vous qu'on va faire la démonstration?)
Cordialement,
Ben rectangle: figure géométrique composée de quatre sommets, quatre côtés (quadrilatère) égaux deux à deux à quatre agnles droits...
Et l'aire je la définirais comme la mesure du surface: donner un scalaire à un truc abstrait....
C'est un début, mais la notion d'angle droit risque de demander une définition plus tard...
Là, tu n'as rien défini du tout!Et l'aire je la définirais comme la mesure du surface: donner un scalaire à un truc abstrait....
Cordialement,
Ben justement, pour moi la définition de l'aire vient de "l'aire d'un rectangle est égale à c1*c2" c'est pour ça que je dis que c'est un axiome...
Salut,
j'ai trouvé ce document qui est assez intéressant. Bonne lecture !
Merci beaucoup
C'est une partie de définition, on peut voir cela comme un axiome.
Mais cela serait insuffisant comme définition, comment calculer la surface d'un pentagone ou même d'un triangle à partir de cela seulement?
A part ça, te casses pas trop la tête, définir proprement la notion d'aire est très loin d'être facile. C'est introduit dans la scolarité comme une notion intuitive, et ce qu'on apprend est plus comment la calculer, que qu'est-ce que c'est! Et, dans les nombreuses formules, il y a celle du rectangle.
Si on voulait vraiment parler d'axiomes et de définitions non circulaires, on va se lancer dans des considérations peu simples, même en se limitant à des polygones sans intersection de côté... (Et la notion de superficie pour tout sous-ensemble du plan, c'est encore une autre histoire...)
Cordialement,
Je viens de finir de lire le pdf et je dois dire qu'il a parfaitement répondu à mes questions, génial!
Juste au passage, on a parlé du rectangle mais c'est le même problème pour le carré non ?
Ben oui, la carré étant un rectangle particulier, ces derniers étant des parallélogrammes particulier
On est d'accord, c'était juste pour être sûr que j'avais pas loupé quelque chose lol.
Salut !
Personnellement je n'y ai pas trouvé de réponses vraiment satisfaisantes (le document donne plutôt une vision intuitive des choses)...Finalement, comment justifies-tu que l'aire d'un rectangle soit le produit des deux côtés ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Tou à fait d'accord.
Essayons un peu...Finalement, comment justifies-tu que l'aire d'un rectangle soit le produit des deux côtés ?
La difficulté est de définir la notion d'aire.
On se place dans le plan euclidien, donc muni d'une métrique euclidienne.
L'aire est une application qui a un sous-ensemble quelconque du plan associe un réel positif ou nul.
On désire les propriétés suivantes:
P1: la somme de l'aire de l'union de A et B et de l'aire de l'intersection de A et B est égale à la somme de l'aire de A et de l'aire de B;
P2: les aires de deux sous-ensembles semblables (i.e., images l'un de l'autre par une similitude), de rapport de similitude a, sont dans le rapport a².
(Note : P2 implique que l'aire est invariante par toute isométrie, en particulier par translation et par rotation.)
A vérifier, mais ces propriétés définissent une unique fonction, à un facteur multiplicatif prés, du moins quand appliquée aux sous-ensembles délimités par une frontière polygonale.
Pour le facteur multiplicatif, il suffit de prendre une figure étalon. Par exemple on conviendra que le carré de côté de longueur 1 a pour aire 1. (On pourrait tout aussi bien convenir que le disque de rayon 1 a pour aire pi...)
En partant ces propriétés, on doit pouvoir démontrer que l'aire d'un rectangle est le produit des longueurs de ses côtés.
Cordialement,
Salut j'arrive un peu tard mais effectivement il faut bien intégrer par rapport à une fonction qui te permet d'obtenir la géométrie que tu veux (dans le cas où elles sont simples bien sûr). Dans le cas des carrés et des rectangles, la maniere la plus simple est de poser f(x)=b et de l'intégrer par rapport à x entre 0 et x. Tobtiendras F(x) =xb, ce qui correspond à l'aire sous la courbe f(x) et également l'aire d'un rectangle de côté x et b. D'ailleurs le carré est un cas particulier dans lequel x=b, tas bien aire=b² et quand tu regardes tas courbe, quand x=b tas bien un carré de côté b
J'arrive un peu tard mais effectivement il faut integrer par rapport à une fonction qui permet d'obtenir la géométrie voulue (dans ce cas de geometrie simple)
Par exemple pour le carré :
- tu intègre f(a)=a entre a et 0, et tu remarqueras en tracant f(a) que l'aire du carré est égal à deux fois cette integrale, c'est à dire 2*(a²/2) --> a²
- pareil pour le rectangle sauf que la tu vas utiliser f(a) = a+C avec C une constante pour avoir des longueurs différentes suivant l'axe et donc obtenir un rectangle. Le principe est le même, tobtiendras A=a(a+C) ce qui est bien l'aire d'un rectangle de côté a et a+C
Bonjour Zoyn.
Était-il vraiment nécessaire de rouvrir ce fil 15 ans après ? Surtout pour proposer une solution basée sur l'intégrale qui est construite ... sur la formule de l'aire du rectangle !!
En fait, la notion d'aire est construite, depuis 2300 ans sur la notion d'aire de rectangle, qu'on étend à d'autres figures soit directement (triangle), soit par passage à la limite (cercle chez Archimède), soit en la définissant par des intégrales. Donc la question de base était piégée, l'aire est définie à partir du rectangle, donc il s'agit d'une définition conventionnelle, donc ni d'un théorème, ni d'un axiome. Et on rajoute des propriétés comme la P1 de Invité.
Il faut noter qu'il existe des parties du plan qui n'ont pas d'aire.
Cordialement.
Je vois pas le problème de rouvrir une discussion de 15 ans qui n'a ps encore été décidée. J'ai simplement donné une démonstration des aires par la technique des intégrales. C'est une technique comme une autre et dire que si c'est pas loriginelle démonstration ça ne vaut rien est pas très pertinent comme remarque. Si tu me démontres que l'a notion dintégrale a été créée et formulez à partir de l'aire d'un rectangle, alors je te donnerai raison mais je n'ai jamais vu ni entendu parler de ça.
Cdlt.
Si tu ne sais pas la définition mathématique des intégrales, c'est un peu normal que tu sois surpris. Je te renvoie à n'importe quel cours de L1 sur les intégrales de Riemann ou de Kurtweil-Heinstock. Bonne lecture !
Pour démontrer une propriété, utiliser une "technique" qui présuppose ce qu'on veut démontrer ne justifie rien.
NB : Rouvrir une discussion abandonnée depuis 15 ans ne se comprend que parce qu'on a envie de monter qu'on "sait des choses". Tu connais la technique de l'intégrale, c'est bien, mais c'est le cas de millions de français.
NBB : En secondaire, en France, on ne définit pas mathématiquement l'intégrale. On utilise une image intuitive, justement construite sur la notion d'aire, admise sans réflexion.
Dernière modification par gg0 ; 13/08/2023 à 13h01.
