Tu as une référence pour cela ? Parce que si on parle mathématiquement et que je prends la longueur d'une courbe quelconque, elle se calcule aussi.Envoyé par nicomiche
Si on prend historiquement, on mesure une longueur avec une référence, un étalon et on peut faire la même chose pour les surfaces, c'est juste moins pratique.
En quoi est ce différent de la longueur ?
Tu as lu le fil ? Parce que c'est faux justement.
Bonjour Nicomiche.
Tu devrais lire les discussions avant d'y répondre ! Et vérifier :
1) que la discussion ne date pas de 16 ans, donc que la reprendre n'a pas d'intérêt.
2) que ce que tu vas ajouter n'a pas déjà été dit.
Cordialement.
Je vois ce vieux fil. Pour moi c'est expérimental: quand on peint un rectangle avec une couche de peinture bien définie, la quantité de peinture est proportionnelle à l'aire du rectangle et on constate que cette formule est correcte.
hé hé, j'avais un peu la même idée mais je pensais au temps nécessaire à une paire de boeufs pour labourer un champ rectangulaire.
sinon, d'un point de vue plus mathématique (mais quand-même un peu paysan), je me demande si ça n'est pas la seule définition (le produit des côtés) qui donne une quantité additive (si on coupe un champ rectangulaire en deux, l'aire du grand champ est la somme des aires des deux petits champs).
Bon, puisque la discussion est relancée, je ferai remarquer que le calcul de l'aire d'un rectangle comme produit des longueurs des côtés est opérationnelle depuis quatre ou cinq millénaires (voire plus). Elle est attestée en Egypte (répartition des terres après les crues du Nil) et, si mes souvenirs sont bons, dans la vallée de l'Indus. Elle a ensuite servi de support à la définition des aires de surfaces diverses, et à la découverte du lien entre aires et primitives. Décider de la définir à partir du calcul intégral est un renversement de perspectives qui n'a d'intérêt que la facilité de la présentation.
Au départ, certains voulaient en faire un axiome, ce qui est bizarre quand ils ne définissent pas l'aire. En fait, le problème est là, d'autant que justement, certaines surfaces ne sont pas quarrables, donc qu'on ne peut pas attribuer une aire à toute surface, même bornée. Si on regarde bien le trajet historique de la notion d'aire (notion première dès les "éléments" d'Euclide), on voit que la définition de base est justement l'aire du rectangle (c'est donc une définition) plus l'additivité, puis la sigma-additivité pour passer à la limite (implicite dans les travaux d'Archimède qui ne dispose pas du calcul sur les réels et des limites et les remplace par la méthode d'exhaustion). C'est ce développement historique qui amène aux méthodes actuelles, et aux définitions élémentaires par calcul intégral, ou élaborée par le théorie de la mesure.
Et justement, dans la définition de la mesure suren théorie de la mesure, comme mesure produit, la définition de la mesure d'un rectangle est ... le produit des mesures des deux côtés. Et là, ce n'est plus que l'application d'une définition générale.
De ce point de vue, le message de Nicomiche (message #30) est un peu à côté de la plaque (sans rentrer dans le détail de ses croyances un peu particulières).
Cordialement.
Cette idée donne lieu à une équation fonctionnelle. Si f(a,b) est l'aire d'un rectangle de côtés a > 0 et b > 0, alors si c > 0 et d > 0, on devrait avoir f(c+d,b)=f(c,b)+f(d,b). On peut aussi ajouter f(a,b)=f(b,a): ceci exprime le fait que le champ (pour rester dans le contexte paysan) dont le côté a est orienté nord-sud et le côté b orienté est-ouest a la même aire qu'un champ qui serait tourné de 90 degrés. Peut-on déterminer f à partir de cela? C'est de la linéarité, c'est évident.
Dernière modification par ThM55 ; 05/10/2024 à 09h53.
Quand je dis que c'est expérimental, il est bien évident que l'empirisme pur n'est pas suffisant car une formule vérifiée pour un rectangle particulier (avec de la peinture, des boeufs, ou des quintaux de blé) pourrait a priori s'avérer fausse pour un autre rectangle. Les anciens qui ont généralisé cette formule à tous les rectangles puis à d'autres figures ont nécessairement dû passer à un certain niveau d'abstraction et c'est effectivement l'additivité et la linéarité qui a été prise en compte. Et merci à gg0 pour son rapide résumé de l'évolution de cette notion au message #35. Je trouve que ce sujet pourrait faire l'objet d'un ouvrage de vulgarisation intéressant, toutefois pas facile à rédiger pour rester au niveau grand public. Il est remarquable que l'évolution de ces idées se soit poursuivie jusqu'au XXème siècle avec la théorie de la mesure et de l'intégration et pose encore des problèmes à notre époque (je pense aux procédés calculatoires de la théorie quantique des champs en physique: intégrales sur des espaces fonctionnels).
Dernière modification par ThM55 ; 05/10/2024 à 10h13.
Bien vu pour l'équation fonctionnelle.
On veut donc une fonction de
Cordialement.
(*) j'étends aux négatifs, qui n'étaient pas considérés au départ.
Dernière modification par albanxiii ; 06/10/2024 à 06h51. Motif: Ajout balises [tex] [/tex]
