Bonjour,
Soit la fonction f(x)=x- (2/ x2+1 )
1) Déterminer sa dérivée f' et sa dérivée seconde.
2)a) Etudier le signe de f''(x) suivant les valeurs de x.
b) en déduire le sens de variation de la dérivée f'.
3) Montrer que la dérivée f' s'annule 2 fois :en -1 et en alpha avec -0.3 alpha -0.2.
En déduire le signe de la dérivée f', puis les variations de la fonction f.
D'apres moi,
f'(x)= 1+ (4x/(x2+1)2
oui c'est justeEnvoyé par Mthilde24
mais le calcul d'une dérivée impose une justification
ok je n'arrive pas trop à trouver la dérivée seconde.
la dérivée de 1 est 0.
apres j'utilise f'(U/V) = (U'V- UV')/ V2
[ 4(x2+1)2 - ( (2*2x*(x2+1) )* 4x) ] / (x2+1)4
??
[4(x²+1)²-16x²(x²+1)]/(x²+1)^4
On trouve la même chose
Merci.
et comment faire pour montrer que la dérivée f ' s'annule 2 fois :en -1 et en alpha avec -0.3 < alpha< -0.2 ?
Il faut résoudre l'équation f'(x)= 0
<=>(x²+1)²+4x=0
<=>x^4+2x²+4x+1=0
Or (x^4+2x²+4x+1)/(x+1)=[(x+1)^4-4x^3-6x²-4x-1+2x²+4x+1]/(x+1)
<=>(x^4+2x²+4x+1)/(x+1)=(x+1)^3+[-4x^3-4x²]/(x+1)
<=>(x^4+2x²+4x+1)/(x+1)=(x+1)^3-4x²
<=>(x^4+2x²+4x+1)=((x+1)^3-4x²)(x+1)
L'équation est donc équivalente à ((x+1)^3-4x²)(x+1)=0
<=>(x+1)^3-4x²=0 ou x=-1
Montrons qu'il existe un réel a tel que -0,3<a<-0,2 et (a+1)^3-4a²=0
Soit g : x |-->(x+1)^3-4x²
Comme g(-0,3)=-0,017, g(-0,2)=0.352 et que g est continue sur R donc sur [-0.3;-0.2], alors il existe a tel que -0,3<a<-0,2 et g(a)=0comme g(-0,3)<0<g(-0,2)
Montrons l'unicité de a :
Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe b différent de a tel que (b+1)^3-4b²=0
Or (a+1)^3-4a²=0
Donc (a-b)(b²+b(a-1)+b²-b+3)=0 : Je te laisse faire les calculs pour retrouver mon résultat
Comme a est différent de b, on a b²+b(a-1)+b²-b+3=0
Calculons le discriminant de ce trinome :
delta=-3a²+2a-11<0 puisque -3a²<0, 2a<0 et -11<0
Donc l'équation n'a pas de solution dans R
Par conséquant a=b
Donc a est unique
f'(x)= 0 <=>x=-1 ou x=a avec -0.3<a<-0.2
