Spé maths arithmétique

[invitec6946ef0]

Salut,

Je bloque totalement à une question d'arithmétique, alors je demande une petite aide

Résoudre dans N^3 l'équation x^3 + 2y^3 = 4z^3

Voilà, merci d'avance
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[invite993227cf]

Désolé, je n'en ai aucune idée!

En ce qui me concerne, j'ai un Dm de maths à faire et je bloque sur un exercice:
a) Démontrer que les diviseurs communs à n et n+2 sont identiques aux diviseurs communs à n et 2.

J'ai seulement réussi à montrer que 2 est un diviseur commun à n et n+2. J'ai démontré que si 2 divise n alors 2 divise n+2 et j'ai fait la réciproques.
mais pour démontrer que n divise n et n+2, je suis bloquée! En plus, je ne suis même pas sûre de bien être en rapport avec le sujet =/

[invitec6946ef0]

Si n est pair:
Les diviseurs communs à n et à 2 sont ( 1;2;-1;-2)
CAR 2 est divisible uniquement par ( 1;2;-1;-2) et
n=1xn= -1x-n = 2xk = -2x-k avc k appartenant à Z

Et les diviseurs communs à n et à n+2 sont (1;2-1;-2)
car n+2= -2x(-k-1) = 2(k+1) (n divise n+2 seulement si n=2)
et il ne peut pas yavoir de diviseurs communs superieurs à 2 puisque n+2-n=2

Et si n est impair :
Les diviseurs communs à n et à 2 sont ( 1;-1)
CAR 2 est divisible uniquement par ( 1;2;-1;-2) mais n est impair donc non divisible par 2 et -2

Et les diviseurs communs à n et à n+2 sont (1;-1)

[invite993227cf]

Merci beaucoup, j'avais finalement réussi à résoudre l'exercice et c'est ce que j'ai trouvé =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Il faut que tu montres que x³, y³ et z³ ont une infinité de diviseurs. Je te propose de montrer par récurrence pour tout entier naturel k, x³, y³ et z³ sont divisibles par 2^(3k). Ainsi tu montres que chacun de ces nombres a une infinité de diviseur donc seul 0 est solution.
Tu auras besoin de démontrer par l'absurde que si 2|x³, alors 2|x

[invitec6946ef0]

Bonjour et merci beaucoup pour ta réponse
Je n'ai pas compris pourquoi x y et z seraient forcément divisbles par 2, ils peuvent très bien être impairs non ?
Je n'ai pas compris pourquoi 2^(3k)
Et je n'ai pas compris pourquoi le fait qu'ils aient une infinité de diviseurs impliquerait que la seule solution est 0;

Bref, jai encore besoin de tes lumières stp

[hhh86]

Bonjour et merci beaucoup pour ta réponse
Je n'ai pas compris pourquoi x y et z seraient forcément divisbles par 2, ils peuvent très bien être impairs non ?
Je n'ai pas compris pourquoi 2^(3k)
Et je n'ai pas compris pourquoi le fait qu'ils aient une infinité de diviseurs impliquerait que la seule solution est 0;

Bref, jai encore besoin de tes lumières stp

Oui dsl, j'ai fait ça assez rapidement et je pensais que ma solution était assez claire, alors je te mets sur la voie. Par contre ma méthode n'est pas unique, il y a surement des méthodes beaucoup plus simples.

D'abord démontre que 2|x³ ==> 2|x ==> 8|x³, tu comprendras surement mieux mon raisonnement.

D'abord je te donnes un aperçu de la méthode pour te montrer comment le démontrer par récurrence

"Je n'ai pas compris pourquoi x y et z seraient forcément divisbles par 2, ils peuvent très bien être impairs non ?"
x³+2y³=4z³
<=>x³=4z³-2y³
<=>x³=2(2z³-y³) donc x³ est pair
2|x³ ==>8|x³
Donc 4|(2z³-y³)
Il existe donc k tel que 2z³-y³=4k
D'où y³=2z³-4k=2(z³-2k)
2|y³==>8|y³
8|(x³+2y³) donc 8|(4z³) ==>2|z³ ==> 8|z³
Puis on recommence, c'est pourquoi la démonstration par récurrence est nécessaire.

"Je n'ai pas compris pourquoi 2^(3k)"
On veut démontrer que chacunes des inconnus admet un nombre infini de diviseurs. J'ai choisi d'utiliser 2^(3k) car la racine cubique de 2^k n'est pas forcément un nobre entier. Avec 2^(3k), on tombera toujours sur un nombre entier. Tu veras, pour le caractère héréditaire ce sera beaucoup plus pratique.

"Et je n'ai pas compris pourquoi le fait qu'ils aient une infinité de diviseurs impliquerait que la seule solution est 0"
ça c'est dans ton cour : tout nombre différent de 0 admet un nombre fini de diviseurs. Tu dois même avoir une démonstration avec un encadrement

[invitec6946ef0]

Merci 1000 fois, j'ai compris !!!

[hhh86]

Merci 1000 fois, j'ai compris !!!

si tu as d'autres questions, je suis à ta disposition