Arithmétique TermS

[invite6c146f6c]

Bonjour,
j' un problème concernant un exercice de spé :

1)a) Suivant les valeur de n, trouver le reste dans la D.E. de 7^n par 9.
b) Démontrer (2005)^2005 =7 (mod9)
2)a)Démontrer pr tt n>0 10^n =1 (9)

Ceci est simple, pas de probleme.

b) N designe un entier naturel écrit en base 10, on appele S la somme de ses chiffres. démontrer la relation N=S (9)

3) On suppose que A=(2005)^2005
B somme des chiffres de A
C _________________B
D__________________C
a) demontrer A=D (9)

Bon je ne vais pas écrire la fin de l'éxo tout de suite, car je bloque 2)b), je vois ce qu'est un nombre base 10, mais je ne sais pas l'écrire je ne peus donc pas démontrer la relation? non?

Merci de m'aider je ne vois absolument pas comment faire...
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[Flyingsquirrel]

Salut,

2)b), je vois ce qu'est un nombre base 10, mais je ne sais pas l'écrire je ne peus donc pas démontrer la relation? non?

Comment ça tu ne sais pas l'écrire ? Tu sais qu'un nombre comme 3241 peut s'écrire sous la forme

Il suffit de généraliser cela. On se donne un entier , on note son nombre de chiffres, on note son chiffre des unités, celui des dizaines, celui des centaines, etc. Peux-tu exprimer en fonction de ses chiffres et de puissances de 10 comme je l'ai fait pour 3241 ?

[invite5150dbce]

Salut,

Comment ça tu ne sais pas l'écrire ? Tu sais qu'un nombre comme 3241 peut s'écrire sous la forme

Il suffit de généraliser cela. On se donne un entier , on note son nombre de chiffres, on note son chiffre des unités, celui des dizaines, celui des centaines, etc. Peux-tu exprimer en fonction de ses chiffres et de puissances de 10 comme je l'ai fait pour 3241 ?

Je ne sais pas utiliser le latex mais tu peux marquer que N=Somme(i=0-->+inf)[*10^i]

[invite6c146f6c]

message suprimé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6c146f6c]

Oui,
on a
N= ^a0.10^0+^a1.10^1+...+^an.10^n

Or : ^a0.10^0 =^a0 (9)
...
^an.10^n =^an (9)
Ainsi, N=S (9)

c'est sa?

[Flyingsquirrel]

c'est sa?

Oui.

(et plutôt que de mettre le de en exposant tu peut mettre le en indice (icône ) )

[invite6c146f6c]

Merci, mais apres je dois montrer que 9 divise N ssi 9 divise S

on a 9|S soit : S=0 (9) or S=N (9) donc N=0 (9)

est-ce correct?

[invite5150dbce]

Merci, mais apres je dois montrer que 9 divise N ssi 9 divise S

on a 9|S soit : S=0 (9) or S=N (9) donc N=0 (9)

est-ce correct?

NON il te manque une étape, tu as montré l'implication mais pas la réciproque

[invite6c146f6c]

Et comment on montre la réciproque? je montre que si 9|N alors 9|S, ou que si 9 ne divise pas S alors 9 ne divise pas N ? et dans tout les cas je ne voit pas comment faire...

[invite5150dbce]

N=0 (9) or S=N (9) donc S=0 (9)

[invite6c146f6c]

ok, en faite c'était simple.

pour la question suivante sa va :
3) On suppose que A=(2005)^2005
B somme des chiffres de A
C _________________B
D__________________C
a) demontrer A=D (9)

on utilise N=S (9) soit A=B ,B=C, C=D et ainsi A=D (9) par contre je ne sait pas comment annoncer ma réponse.

Mais la question suivant...
sachant que 2005<10 000, démontrer que A s'écrit en numération décimale avec au plus 8020 chiffres,là je comprend pas la question en faite ^^

[invite6c146f6c]

Si j'ai compris, enfin je crois
2005<10000
2005^2005<10000^2005

or (1.10^4)^2005=10000^2005
soit 2005*4 =8020

et 8020 correspond au nombre de chiffres porté par 10000^2005
donc c majoré par 8020.

est-ce correct?

[Flyingsquirrel]

on utilise N=S (9) soit A=B ,B=C, C=D et ainsi A=D (9) par contre je ne sait pas comment annoncer ma réponse.

Ben comme tu viens de la faire : on sait que tout nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9 donc , et d'où .

Si j'ai compris, enfin je crois
2005<10000
2005^2005<10000^2005

or (1.10^4)^2005=10000^2005
soit 2005*4 =8020

et 8020 correspond au nombre de chiffres porté par 10000^2005
donc c majoré par 8020.

est-ce correct?

Oui, c'est correct.

[invite6c146f6c]

d accord, dernière petite question et j'en aurait terminé pour cette fois-ci...

Comment Démontrer que D=7,
apres avoir montrer que , et que le majorant de D est 12 (3+9) => ceci étant fait