fonction croissante

[invite931b4812]

bonjour,
je dois montrer que la fonction f définie sur l'intervalle ]0 +infini[ par f(x)=[\/¯(x²+1)-1]/x est croissante sans utiliser l'outil de dérivation.
Ma solution(fausse) montre le contraire, pouvez vous s'il vous plaît m'indiquer l'erreur dans mon raisonnement que voici:
après avoir considérer deux réels a et b quelconques de l’intervalle I ,
tels que a<b, je vais comparer f (a) et f (b):
a<b
a²<b²
a²+1<b²+1
\/¯( a²+1)<\/¯(b²+1)
\/¯( a²+1)-1<\/¯(b²+1)-1
[\/¯( a²+1)-1]/a>[\/¯(b²+1)-1]/b
f (a)>f (b) donc la fonction serait décroissante?
Merci d'avance pour votre aide.
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[danyvio]

a<b
a²<b²
a²+1<b²+1
\/¯( a²+1)<\/¯(b²+1)
\/¯( a²+1)-1<\/¯(b²+1)-1
[\/¯( a²+1)-1]/a>[\/¯(b²+1)-1]/b
f (a)>f (b) donc la fonction serait décroissante?
Merci d'avance pour votre aide.

Pourquoi le < se transforme t-il en > dans [\/¯( a²+1)-1]/a>[\/¯(b²+1)-1]/b ??? De toutes façons, même le signe < ne serait pas forcément adapté. La méthode ne me semble pas opportune. Essaie de cauler plus directement f(a) - f(b).

[invite931b4812]

bonsoir,
ok merci.
De toute manière même avec la dérivée je n'y arrive pas non plus pour l'instant.
Merci.

[invite931b4812]

bonsoir,
j'ai du mal à étudier le signe de la dérivée de cette fonction f définie sur l'intervalle ]0 +infini[ par f(x)=[\/¯(x²+1)-1]/x
j'ai essayé
f'(x)=[(x/2\/¯(x²+1))-(\/¯(x²+1))+1]/x²
le dénominateur est toujours positif. Mais je n'arrive pas à étudier le signe du numérateur. J'ai essayé de me débarraser des racines mais je n'ai pas reussi.
pouvez vous m'aider svp
merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3240c37d]

Quelle est la monotonie de ? Qu'en déduis tu pour et ensuite pour ?

[invite931b4812]

bonjour,
merci beaucoup pour votre aide.