aire maximale d'un triangle inscrit

[invitec00a95de]

Bonsoir !
Je dois faire un exercice sur les triangles inscrits, mais je ne sais pas du tout par où commencer.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

énoncé :
Soit C un cercle de rayon R. On s'intéresse à l'aire des triangles inscrits dans C, c'est à dire dont les sommets appartiennent à C.

1/ On suppose que parmi les triangles inscrits dans C, il en existe un d'aire maximale, montrer qu'il est équilatéral.

2/ A-t-on prouvé que, parmi les triangles inscrits dans C, les triangles équilatéraux sont ceux d'aire maximale ?

3/ Soit ABC un triangle isocèle en A inscrit dans C, H est le milieu de [BC] et x = AH (0<x<2R)
a/ faire une figure
b/ montrer que l'aire S du triangle ABC vérifie :
S² = x3(2R-x)

c/ Etudier les variations de la fonction f : x→ x3(2R-x) ; x Є ] 0, 2R[
En déduire que parmi les triangles isocèles inscrits dans un cercle C, ce sont les triangles équilatéraux qui sont d'aire maximale.

4/ Reprendre cette dernière question en reprenant le mot isocèle.



Merci d'avance à ceux qui essaieront de m'aider !
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[invitea3eb043e]

Doit y avoir 10 000 façons de répondre.
En voici une, sans calcul : tu prends un segment BC sur le cercle, n'importe où.
Tu regardes où il faut mettre A pour que l'aire soit maximale, tu verras qu'il faut que la hauteur issue de A soit de longueur aussi grande que possible, donc que A soit sur la médiatrice de BC. Le triangle ABC est donc isocèle en A.
Mais le raisonnement peut être repris pour les autres sommets, il est isocèle de partout, donc équilatéral.

[invitec00a95de]

merci beaucoup, je vais faire comme ça, en illustrant avec des figures.