Étude de suite

[invitec3d0b216]

Bonsoir !

Je me trouve de nouveau bloquée à un exercice d'un DM dont l'énoncé est :

On considère la suite u définie sur N par u_n = ∑_k=0^k=n 1/k!

On calcule u₀, u₁, u₂, u₃, puis on montre que u est strictement croissante.

Ensuite, on veut montrer que u est majorée en deux étapes:
D'abord on prouve que :

Pour tout n∈N* :
u_n≤1+ ∑_k=1^k=n 1/2^k-1
Ce qui est chose faite.

Puis on veut montrer que :
∑_k=1^k=n 1/2^k-1 = 2(1-(1/2)ⁿ)

Là, j'ai réussi à montrer que
∑_k=1^k=n 1/2^k-1
= 1/2^1-1+1/2^2-1+ ... + 1/2^n-1
= 2(1/2¹+1/2²+ ... + 1/2ⁿ )
= 2(1+(1/2)²+(1/2)³+ ... + (1/2)ⁿ )

Mais de là je n'arrive pas à passer à 2(1-(1/2)ⁿ) =S.

Auriez-vous quelques pistes à me donner que je me sorte enfin de cette exercice ?

Merci de votre attention
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[invitefa784071]

Tu dois reconnaitre une somme d'une suite géométrique!! et donc tu obtiens le résultat (regarde ton cours pour savoir comment on les calculs ces sommes de suites...)

[invitec3d0b216]

Ah mais oui ! !
Merci beaucoup, j'avais regardé vite fait pour savoir si elle était arithmétique puis l'idée m'est sortie de la tête.

[invitec3d0b216]

Finalement ça ne s'avère pas si clair dans ma tête =S.
Je n'arrive pas à calculer la raison et la seule chose que j'arrive à montrer c'est que :

u_n X 1/2 + 1 = u_n+1

Ce qui ne fait pas d'elle une suite géométrique et ne me permet pas d'appliquer la formule de la somme d'une suite géométrique .

Merci de votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3d0b216]

Avec u_n = ∑_k=1^k=n 1/2k-1 au post juste au dessus

[invitefa784071]

si tu n'utilise le 1 qu'à la fin tu a la suite geométrique
u(n+1)=1/2 u(n)

[invitec3d0b216]

C'est à dire :$ ?

[invitec3d0b216]

S'il vous plaît, aidez moi ! Je dois rendre ce devoir demain, qui est aussi le jour de mon anniversaire et j'aimerai pouvoir profiter du dernier jour de mes seize ans ...

[invitec3d0b216]

C'est résolu !