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DM Equation différentielle



  1. #1
    Cannot

    DM Equation différentielle


    ------

    Bonjour,

    J'ai quelques petits problèmes avec un DM que j'ai à faire pour la rentrée.
    Je mets l'énoncé et ce que j'ai fait.

    "On se propose d'étudier les fonction f dérivables sur R vérifant les conditions (C) : f(0)=1 et pour tout réel x, f'(x)=2f(x)+e^2x.

    Partie A : On suppose qu'il existe une fonction f qui vérifie (C).

    La méthode d'Euler permet de constuire une suite de points (M_n) proches de la courbe représentative de la fonction f. On choisit le pas h=0.01.
    On admet que les coordonnées (x_n;y_n) de points M_n obtenus en appliquant cette méthode avec ce pas vérifient x_0=0 et y_0=1 et x_(n+1) = x_n+0.01 et y_(n+1) = 1.02y_n+0.001e^2x , pour tout entier naturel n.

    A l'aide de votre calculatrice, donner les coordonnées de M_50 arrondies au millième.

    Alors ici mon problème est que je n'arrive pas à rentrer ces suites dans ma calculatrice ! C'est une Ti-89.

    Partie B :

    Soit (E) l'équation différentielle : y'-2y=e^2x
    1. Résoudre sur R l'équation différentielle (E') : y'-2y=0

    y'=2y
    Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par f(x)=k(e^2x)

    2. Déterminer un réel a tel que la fonction u définie sur R par u(x) = axe^2x est une solution de (E)

    Il faut que a=1.
    Je ne vous remets pas tout le calcul, je pense que c'est bon.

    3. Démontrer qu'une fonction f définie sur R est solution de (E) si et seulement si il existe une fonction g solution sur R de (E') telle que f=g+u :

    Alors là je ne sais pas comment le démontrer.

    4. En déduire l'ensemble des solutions de (E) :

    Partie C :

    Justifier qu'il existe une unique fonction f vérifiant les conditions (C). A l'aide de l'expression de f(x) en fonction de x, déterminer l'ordre de grandeur de l'erreur commise sur le calcul de f(0.5) par la méthode d'Euler avec le pas h= 0.01.

    Merci beaucoup de votre aide !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    lapin savant

    Re : DM Equation différentielle

    Salut,
    B.3. Tu dois montrer deux implications :
    1) Montre que si il existe g solution de (E') alors f=g+u est solution de (E) (aide : montre que (g+u)' - 2(g+u)=exp(2x) )

    2) Montre que si f est solution de (E), alors g=f-u est solution de (E')
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  4. #3
    Cannot

    Re : DM Equation différentielle

    Merci !

    1)
    (g+u)' - 2(g+u) = k2e^2x+x2e^2x+e^2x-2ke^2x-2xe^2x = e^2x

    2)
    f-u = e^2x-xe^2x
    (e^2x-xe^2x)' - 2(e^2x-xe^2x) = 2e^2x--x2e^2x+e^2x)-2e^2x+xe^2x
    = -e^2x
    Bizarre !

  5. #4
    lapin savant

    Re : DM Equation différentielle

    Citation Envoyé par Cannot Voir le message
    (f-u)(x) = e^2x-xe^2x
    (e^2x-xe^2x)' - 2(e^2x-xe^2x) = 2e^2x--x2e^2x+e^2x)-2e^2x+xe^2x
    = -e^2x
    Rem: N'oublie pas que ce sont des fonctions de x (en gras) !

    f est solution de (E) donc :


    or u est solution de (E) donc

    et donc g=f-u est solution de (E')
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  6. #5
    Cannot

    Re : DM Equation différentielle

    Ok merci !
    Mais pour l'ensemble des solutions je ne vois pas trop.
    C'est les fonctions qui s'écrivent sous la forme e^2x(x+k) ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    lapin savant

    Re : DM Equation différentielle

    Oui c'est exactement ça : tu connais les solutions de (E'), g, et tu connais une solution de (E), u, et tu as montré que dans ce cas tu connaissais la forme de toutes les solutions de (E),
    f=g+u.

    edit : partie C, il suffit de déterminer k pour trouver une unique fonction...
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

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  10. #7
    Cannot

    Re : DM Equation différentielle

    f(x) = e^2x(x+k)
    f(0)=1
    <=> ke^0=1 donc k=1.
    Unique fonction : f(x) = e^2x(x+1)

    Et pour l'erreur commise je ne sais pas comment faire

  11. #8
    Cannot

    Re : DM Equation différentielle

    Ah oui ! Avec l'approximation affine ?

  12. #9
    Cannot

    Re : DM Equation différentielle

    Ah non, je pense avoir compris.
    Mais il faut que je trouve les coordonnées du point M_50.
    Et je ne sais pas comment rentrer la suite y_n dans la calculatrice.
    M_50 (0.49 ; )

  13. #10
    Cannot

    Re : DM Equation différentielle

    Une personne saurait-elle comment je pourrais faire ? Car cela m'empêche de terminer le DM.

  14. #11
    Cannot

    Re : DM Equation différentielle

    Vraiment désolé pour le multipost +++ !
    C'est bon j'ai tout réussi sauf l'ordre de grandeur de l'erreur commise.
    J'ai trouvé en pourcentage mais ce n'est pas ce que l'on me demande !

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