problème de récurence et factorielle

[invite2903772b]

bonjour, j'ai un petit DM de niveau terminale S a faire sur les suites et Complexes, et il y a un exo sur 5pts (/20) où je suis complètement bloqué. voici l'énoncé :

a) Démontrez uniquement par récurrence que, pour tout entier n>= 1, on a : n! >= 2^(n-1)

b) Démontrez uniquement par récurrence que, pour tout entier naturel n, l'entier 3^(2n) - 2^n est multiple de 7

pour la a, le factorielle me bloque pour l'hérédité, je sais pas quoi en faire. et pour la b, je l'ai faite en 2min par congruence mais apres relecture du sujet j'ai oublié la parti souligné ^^ donc à refaire. si vous pouviez m'aider pour les hérédité, j'ai du mal, merci d'avance.
-----

[danyvio]

1)

En revenant aux définitions de la factorielle, et notamment en utilisant le fait que (n+1)!= n! (n+1)

Et que 2^{(n+1) -1} = 2^n-1.2

Et que n+1 >= 2 quand n>=1, tu dois pouvoir démontrer que s'il existe n tq la propriété donnée est vrai, alors il suffit qu'il existe n = une valeur donnée (ici 1 par exemple) pour que la propriété soit vraie pour tout n > = 1

[invitea29b3af3]

Salut, bienvenue sur le forum:
pour le a)
3 étapes:
tu vérifies si c'est vrai pour n=1.
tu poses l'hypothèse que n! >= 2^(n-1) pour tout n>1
tu vérifies si c'est vrai pour n+1 en te servant de l'hypothèse.
je te fais le départ pour le 3e point:
(n+1)! = (n+1) * n! >= (n+1) * 2^(n-1) ....etc et il faut montrer que ça c'est >= 2^(n+1-1) = 2^n

pour le b)
idem que pour le a) au niveau des 3 étapes.
l'hypothèse est que 3^(2n) - 2^n = 7k, où k est un entier.
tu t'en sers pour montrer que c'est vrai aussi pour n+1:
3^(2n+2) - 2^(n+1) = 9*3^(2n) - 2*2^n ....etc là je te laisse essayer de trouver une petite astuce haha

[invite2903772b]

déjà merci de vos réponses, et sur vos conseils j'ai fais ça, dites moi si c'est bon :

a)
pour n=1 --> 1=1

supposons n!>=2^(n-1)
n>=1
n+1>=2
(n+1)*n! >= 2n!
or n! >= 2^(n-1)
donc (n+1)n! >= 2n! >= 2*2^(n-1)
(n+1)! >= 2^n

je m'attel au b) et je vois ce que je trouve

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite652ff6ae]

C'est bon

[invite2903772b]

bon je bloque sur la b), je tourne en rond... quand ça commence comme ça, généralement ça dure longtemps, donc je voudrais bien un coup de pouce si possible, merci.

[invitebe08d051]

Bonsoir,

Utilise le fait que puis pense à une factorisation possible (sous forme de de ) sans oublier bien sur, d'écarter le cas de .

Cordialement

[invitec317278e]

l'intérêt d'une récurrence est discutable si on utilise cette formule

bon je bloque sur la b), je tourne en rond... quand ça commence comme ça, généralement ça dure longtemps, donc je voudrais bien un coup de pouce si possible, merci.

fialux avait commencé, et t'avais dit de montrer que ^(2n+2) - 2^(n+1) = 9*3^(2n) - 2*2^n est un multiple de 7...tu es en train de faire une récurrence, tu peux donc dire que , par hypothèse de récurrence, donc
je te laisse essayer de conclure.

[invite2903772b]

merci à fiatlux pour la réponse par mp vu que le site beuguait un peu hier :s

donc je passe de 9*3^(2n)-2*2^(2n) à 9[3^(2n) - 2^n] + 7*2^n

mais la question c'est comment ??? je ne vois pas comment une factorisation peut donner ça donc je pense à une formule, du stule identité remarquable, mais celle là me dit rien, si vous pouviez m'éclairer ce serait sympa, apres pour la fin je pense qu'il suffit juste de passer le 7*... de l'autre coté et de dire que 2^n est un entier car blabla....

[invite2903772b]

c'est bon ! alléluhia (ou je sais plus comment ça s'écrit ^^).

grace aux conseils de fiatlux et de mes amis de la classe, je m'en suis sortit, merci à tous