Droite de Simson - 1S

[inviteeb21846b]

Bonjour,

Je suis en premiere S et j'ai un DM a faire sur la droite de Simson.

Voici l'énoncé:

[I]On a construit ci dessous un triangle ABC, son cercle circonscrit et on a choisi un point M sur le cercle.
I J et K sont les pieds des perpendiculaires menées de M aux cotés du triangles ABC

1.aMontrer que les points I,J, M et C sont cocycliques
b. Démontrer que (IM, IJ) = (CM, CJ) + k pi (k e Z)
NB: en gras, les vecteurs

[U]2. Demontrer de meme que (IK, IM) = (BK, BM) + k pi

3. en déduire que les points I,J et K sont alignés.

Voila ce que j'ai fait pour le moment :

1.a
B,I,C aligné <=> (IM) perpendiculaire a (CB) <=> (IM perpendiculaire a (IC) <=> (IM, IC) = pi/2 (modulo pi)

A,C,J aligné <=> ( JM) perpendiculaire (CA) <=> (JM) perpendiculaire a (JC) <=> (JM, JC) = pi/2 (modulo pi)

donc (IM, IC) = (JM, JC) = PI/2 (MOD PI)

I, J, M ET c SONT DONC COCYCLIQUES.

b. je n'ai rien mi, dois je faire la meme chose que pour le a.?

2. Montrer que (IK, IM) = (BK, BM)
donc : Montrer que I,J,M et K sont cocycliques

(1)=> (IM)perpendiculaire a(IB) => (IB,IM)= pi/2 mod(pi)
(2)=> (KM)perpendiculaire a(KB) => (KB,KM)= pi/2 mod(pi)
donc (IB,IM)= (KB,KM)= pi/2 mod(pi)
d'où I, K, B ,et M cocycliques

3. En déduire que les points I, J et K sont alignés.

3) Déduire que I,J et K sont alignés
I,J et K sont alignés <=> (IJ,IK)= 0 mod(pi)

I, J, M et C cocycliques => (IJ,IM)=(CJ,CM) mod(pi) (4)
I, K, B et M cocycliques => (IK,IM)=(BK,BM) mod(pi) (5)
B, C, A et M cocycliques => (BA,BM)=(CA,CM) mod(pi) (6)
or (BK,BM)=(BA,BM) mod(pi) car B,K et A alignés (7)
et(CM,CJ)=(CM,CA) mod(pi) car C,A et J alignés (8)
donc
(IJ, IM) = (CJ, CM) et (CM, CJ) = (CM, CA)=> (IJ,IM)=(CA,CM) mod(pi) (*)
(IK, IM) = (BK,BM) ET (BK,BM)=(BA,BM) <=> (IK,IM)=(BA,BM) mod(pi) (**)
=> (IJ,IM)-(IK,IM)= (CA,CM)-(BA,BM) mod(pi)
=> (IJ,IM)+(IM,IK)= 0 mod(pi) car (BA,BM)=(CA,CM) mod(pi) d'aprés (BA,BM)=(CA,CM)
=> (IJ,IK)= 0 mod(pi) d'aprés la relation de Chasles

d'où I,J et K sont alignés.



Pouvez vous me donner des indications si je suis sur la bonne voie et quelques idees pour le 1.b?

Merci d'avance.

Julia.
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[invite8b9533ee]

Salut! On a encore le meme DM, des maths cette fois.

Voila ce que j'ai a rendre pour demain, j'esperes qu'il n'est pas trop tard.


1. a)

B,I,C aligné ó (IM) perpendiculaire a (CB) ó (IM) perpendiculaire a (IC) ó (IM, IC) = pi/2 (modulo pi)

Donc le triangle IMC est rectangle en I et est inscrit dans le cercle de diamètre MC.

A,C,J aligné ó (JM) perpendiculaire (CA) ó (JM) perpendiculaire a (JC) ó (JM, JC) = pi/2 (modulo pi)

Donc le triangle JMC est rectangle en J et est inscrit dans le cercle de diamètre MC.

DONC I, J, M ET C SONT COCYCLIQUES, (cercle de diamètre MC)


1b

I, J, M et C sont cocycliques. (IM,IJ) et (CM,CJ) interceptent le même arc de cercle, donc, d’après le théorème de l’angle inscrit, (IM,IJ) = (CM,CJ) modulo PI

cad (IM,IJ) = (CM,CJ) + k PI.


2.

(1)=> (IM) perpendiculaire a (IB) => (IB,IM) = pi/2 mod(pi)

Donc le triangle IMB est rectangle en I et est inscrit dans le cercle de diamètre MB.

(2)=> (KM) perpendiculaire a (KB) => (KB,KM) = pi/2 mod(pi)

Donc le triangle KMB est rectangle en K et est inscrit dans le cercle de diamètre MB.

DONC I, K, B, et M SONT COCYCLIQUES (cercle de diamètre MB)

(KI,IM) et (BK,BM) ) interceptent le même arc de cercle, donc, d’après le théorème de l’angle inscrit, (KI,IM) = (BK,BM) modulo PI

cad (KI,IM) = (BK,BM) + k PI.



3.

I, J, et K sont alignés <=> (IJ,IK)= 0 mod(pi)

I, J, M et C cocycliques => D’après 1b (IJ,IM)=(CJ,CM) mod(pi)
I, K, B et M cocycliques => D’après 2 , (IK,IM)=(BK,BM) mod(pi)

B, C, A et M cocycliques => (BA,BM)=(CA,CM) mod(pi)

OR (BK,BM)=(BA,BM) mod(pi) car B,K et A alignés
et (CM,CJ)=(CM,CA) mod(pi) car C,A et J alignés

DONC (IJ, IM) = (CJ, CM) et (CM, CJ) = (CM, CA) <=> (IJ,IM)=(CA,CM) mod(pi)
(IK, IM) = (BK,BM) ET (BK,BM)=(BA,BM) <=> (IK,IM)=(BA,BM) mod(pi)
=> (IJ,IM)-(IK,IM)= (CA,CM)-(BA,BM) mod(pi)
=> (IJ,IM)+(IM,IK)= 0 mod(pi) car (BA,BM)=(CA,CM) mod(pi) d'aprés (BA,BM)=(CA,CM)
=> (IJ,IK)= 0 mod(pi) d'aprés la relation de Chasles

DONC I, J, K sont alignes.