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Nombre complexe



  1. #1
    EOne

    Nombre complexe

    Bonsoir,
    J'ai une question de QCM que je n'arrive pas à résoudre, je requière donc votre aide

    A tout nombre complexe z =/ -2, on associe le nombre complexe z' définie par: z'=(z-4i)/(z+2)
    L'ensemble des points M d'affixe z tels que z' est un réel est:
    a.un cercle de rayon 1
    b.une droite
    c.une droite privée d'un point
    d.un cercle privé d'un point

    Je n'ai pas d'idées sur cette question :/
    Merci

    -----


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  3. #2
    nono212

    Re : Nombre complexe

    Il faut que tu définisses deux points : un point A d'affixe 4i et un point B d'affixe -2.

    Ton énoncé devient :



    Tu calcules le module de tout ça, tu obtiens :




    C'est donc une droite.

  4. #3
    Zioup

    Re : Nombre complexe

    Salut !
    Autre méthode, tu ecrit z=a+ib
    D'ou (z-4i)/(z+2) = (a+ib-4i)/(a+ib+2)
    Tu multiplie par le conjugué du dénominateur, pour virer les i.
    Tu obtiens
    z'=(a+ib-4i)(a+2-ib)/(a+2+ib)(a+2-ib)
    =(a²+2a+b²-4b+2bi-4ai-8i)/(a²+4a+4+b²)
    Tu sépare parties reelle et imaginaire
    z'=(a²+2a+b²-4b)/(a²+4a+b²+4) + i(2b-4a-8)/(a²+4a+4+b²)
    Or on te dit que z' est un reel -> partie imaginaire de z' = 0
    -> (2b-4a-8)/(a²+4a+4+b²) = 0
    -> 2b-4a-8 =0
    -> b = 2a +4
    Ce qui est une equation de droite !
    Et voila =)

    Ca peut sembler plus compliqué que la premiere methode, mais ca marche a tous les coups de remplacer z par a+ib

  5. #4
    nono212

    Re : Nombre complexe

    Citation Envoyé par Zioup Voir le message
    Salut !
    Autre méthode, tu ecrit z=a+ib
    D'ou (z-4i)/(z+2) = (a+ib-4i)/(a+ib+2)
    Tu multiplie par le conjugué du dénominateur, pour virer les i.
    Tu obtiens
    z'=(a+ib-4i)(a+2-ib)/(a+2+ib)(a+2-ib)
    =(a²+2a+b²-4b+2bi-4ai-8i)/(a²+4a+4+b²)
    Tu sépare parties reelle et imaginaire
    z'=(a²+2a+b²-4b)/(a²+4a+b²+4) + i(2b-4a-8)/(a²+4a+4+b²)
    Or on te dit que z' est un reel -> partie imaginaire de z' = 0
    -> (2b-4a-8)/(a²+4a+4+b²) = 0
    -> 2b-4a-8 =0
    -> b = 2a +4
    Ce qui est une equation de droite !
    Et voila =)

    Ca peut sembler plus compliqué que la premiere methode, mais ca marche a tous les coups de remplacer z par a+ib
    Oui, mais pour une question de QCM, vaut mieux réfléchir rapidement
    Enfin de toute façon quand on voit un (z-a)/(z-b) = réel, c'est forcément une droite.

  6. #5
    EOne

    Re : Nombre complexe

    Merci beaucoup à vous deux.
    J'avoue que la première technique est plus simple que la seconde mais bon si la seconde marche à tout les coups pourquoi pas
    Bonne soirée à vous
    PS: Effectivement, il vaut mieux être rapide dans un QCM ^^

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Zioup

    Re : Nombre complexe

    C'est clair que si tu repere tout de suite le truc (genre des fois tu as une expression ultra compliquée, et oh magie en fait c'est zz', ou alors tu simplifies par racine de 2 et bam t'obtiens direct ta réponse), ben ma methode est totalement inutile, parceque vachement plus longue.
    Mais moi, les fameux trucs, je les reperais jamais, d'ou l'utilité de développer ^^

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  10. #7
    EOne

    Re : Nombre complexe

    La même question telle que:
    L'ensemble des points M d'affixe z tels que z' est un imaginaire pur est:
    a.un cercle
    b.une droite
    c.une droite privée d'un point
    d.un cercle privé d'un point

    Je suppose qu'il faut dire que la partie réelle de z' est égale à 0 mais après je n'arrive pas à me dépatouiller avec cette expression :/

    Merci pour votre aide

  11. #8
    Zioup

    Re : Nombre complexe

    Salut !
    Alors avec le meme développement qu'avant, tu obtiens
    (a²+2a+b²-4b)/(a²+4a+b²+4) =0
    ssi a²+2a+b²-4b=0
    ssi a²+2a+1-1+b²-4b+4-4=0
    ssi (a+1)²+(b-2)²=5
    -> equation de cercle
    Dernière modification par Zioup ; 17/11/2009 à 17h20.

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