nombre complexe

[invite3d65087e]

salut a tous!!
une petite question sur l'origine du nombre( i^2=-1) d'ou vient il et comment on a pu conclure que le x est la partie reelle et le y et la partie imaginaire d'un nombre comlexe
merci d'avance!!!
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[KerLannais]

Salut,

Les nombres imaginaires ont été inventés par les algébristes italiens du XVIe siècle, notamment Bombelli. Au départ c'était à cause de la formule de Cardan qui donne les solutions de l'équation du troisième degré. Ils ont remarqué que la formule ne marchait pas toujours très bien parce qu'il y avait de simples équations de degrés 3 dont on connaissait une racine réelle (gentille, par exemple 4) et la formule de cardan ne donnait rien. Pire, quand on essayait de l'appliquer sur ces équations on tombait sur des racines carrés de nombres négatifs ( ce qui à l'époque n'avait aucun sens puisqu'un carré est toujours positif d'après la règle des signes). Bombelli a eut l'audace de continuer le calcul avec des racines de nombres négatifs, un peu comme l'aurait fait un cancre (les élèves ont toujours tendance à inventer de nouvelles règles de calcul quand ils sont coincés en devoir, ils sont parfois très imaginatifs). Il a juste utilisé une règle très naturelle

et donc était une quantité maginaire dont le carré est négatif (ce qui ne peut pas exister normalement). En continuant son calcul il a simplifié toutes les quantités imaginaires et a réussi à tomber sur la bonne racine 4 (et ce en utilisant la formule de Cardan).
Evidemment cette méthode a provoqué un tollé chez les mathématiciens puisque c'était une méthode totalement fantaisiste basée sur des quantités impossibles, en bref n'importe quoi à priori. Mais il se trouve que cette méthode aussi non rigoureuse soit elle donne les solutions des équation de degré 3
à partir de là bcp de mathématiciens ont réfléchi à la question notamment le grand Gauss, en se disant que si ça marche c'est que c'est peut-être pas n'importe quoi, et il a cherché à comprendre pourquoi ça marche et a donné une définition rigoureuse des nombres complexes. C'est lui qui a introduit la notation (comme imaginaire) pour la quantité , ceci pour éviter de la manipuler comme une racine carrée et d'appliquer les règles qui s'appliquent normalement au racines carrés et qui ne s'appliquent pas ici. C'est notamment pour les étudiants, tu peux être sûr que sur une classe tu en trouvera forcément un pour dire la bêtise suivante:

et après il te dit, mais alors je comprends pas. C'est pourquoi la notation est plus appropriée (bon bien sûr quand on est prof ou bon élève on peut utiliser la notation sans se planter).
Je te conseille de regarder sur Wikipédia tu trouvera pleins d'infos.

[invite2d9f8ffe]

Bjr,
Je crain que l'ecriture du genre rac1=rac(-1*-1)=rac(-1)*rac(-1)
ne soit pas tres regoureuse, c'est come la division par zero qui nous conduit a 1=2!.
Je ne dit pas que j'ai la réponse de la question mais je me rappel que j'ai lu une foi que la racine de -1 provient des ensemble duax, du genre (x,y), l'idée est que en faisant lae produit de deux element de ce groupe
(x,x')*(y,y')=(x*y,x'*y')
on prenant x,x',y,y' tel qu'ils donnent (-1,0)
ici y est nulle alors on peut reduire cette element duax a un seul c'est a dire -1
Pas sur!

[invite3d65087e]

Bjr,
Je crain que l'ecriture du genre rac1=rac(-1*-1)=rac(-1)*rac(-1)
ne soit pas tres regoureuse, c'est come la division par zero qui nous conduit a 1=2!.
Je ne dit pas que j'ai la réponse de la question mais je me rappel que j'ai lu une foi que la racine de -1 provient des ensemble duax, du genre (x,y), l'idée est que en faisant lae produit de deux element de ce groupe
(x,x')*(y,y')=(x*y,x'*y')
on prenant x,x',y,y' tel qu'ils donnent (-1,0)
ici y est nulle alors on peut reduire cette element duax a un seul c'est a dire -1
Pas sur!

merci bocoup les amis!! j'ai eu une idée! donc il me reste denrechire l'info avec wiki!!
bonne chance

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

et comment on a pu conclure que le x est la partie réelle et le y est la partie imaginaire d'un nombre complexe

Cette phrase ne veut pas dire grand chose...
On peut très bien noter z = y + i.x et alors y est la partie réelle et x la partie imaginaire.

[invite3d65087e]

merci pour la remarque mais je voulais pas dire pouquoi on a choisit ces deux parametre mais juste pourquoi on l'a appelé partie imaginaire !!

[breukin]

Parce que les nombres classiques jusqu'alors manipulés semblaient concrets, tangibles, réels, tandis que cette nouvelle dimension ressortait plus de la construction purement intellectuelle.

[invite10a6d253]

Si effectivement l'introduction des nombres complexes remonte à la résolution des équations cubiques, leur popularité et leur acceptation par la communauté mathématique doivent surtout à leur interprétation géométrique (précisément l'identification d'un nombre complexe avec un point du plan de coordonnées (x,y), et les définitions de partie réelle et imaginaire qui s'en suivent).

A lire: Needham, Visual complex analysis, dont on peut aisément consulter des extraits sur internet.