Bonjour,
J'essaie de montrer la chose suivante :
Soit {X_n , n>= 0} une chaine de Markov,
On définit A_k comme étant le ke passage par l'état k.
(i.e. A_0 = inf (n >= 0 tq X_n = k) et A_k = inf (n>= A_k + 1 tq X_n = k)
J'aimerais montrer que pour tout k, A_k est un temps d'arret pour la chaine de Markov considérée.
Cela me semble assez évident, mais je n'arrive pas à l'écrire formellement, quelqu'un aurait une idée?
Merci
1) Fais gaffe à tes notations (le k a deux rôles ici, c'est mal). Vraiment.
2) Quelle est la définition d'un temps d'arrêt ? Maintenant, cette définition étant donnée, qu'est-ce qui ne va pas avec la démonstration ?
(On définit A_k comme étant le ke passage par l'état j.)*
Une variable aléatoire T est dîtes temps d'arret si
{T <= n } est fonction de X_1,...,X_n uniquement.
Ce que je veux donc montrer est :
P(A_k <= n) est fonction de X_1,...X_n.
mais je parviens pas à l'écrire formellement.
Déjà, on ne cherche pas à montrer que "P(A_k <= n) est fonction de X_1,...X_n". k et n étant fixés, P(A_k <= n) est fonction de que dalle (c'est une intégrale sur l'espace des suites d'états d'une indicatrice). Et si on conditionne par, on va forcément obtenir une fonction de
En pratique, c'est évident. Mais si tu débutes en probas, c'est en effet un bon exercice d'écrire ce genre de chose formellement 2-3 fois...
Fixons un entier
A partir de là, je te laisse exprimer l'évènement
Okidoc, je vais m'atteler à l'écriture de la chose
Merci
