bonjour à tous
Pour m'entrainer à mon DS de demain, je fais des exercices mais je cale sur cette question :
on a la fonction suivante :
f(x)= (1-cos x)/x si x different de 0, et f(0)=0
il fallait tout d'abord montrer qu'elle est continue sur R, jusque là pas de problème
mais maintenant il faut montrer que f est dérivable en zero... la je bloque !
Quelqu'un pourrait m'aider ?merci d'avance !
Salut!
On voit tout de suite l'expression d'une dérivée en un point particulier. Cela veut dire que ta fonction est dérivable en ce point. Alors, reste plus qu'à trouver cette dérivée!
C'est pas bien dur : essaye de retrouver l'expression : f'(a)= f(x)-f(a) / x-a.
J'espere que ca va t'aider!
Derives sur R* et montre que lim de la derivée en 0 existe.
J'ai pas l'impression que cette méthode marche...peut-etre que je me trompe?Envoyé par LoLLoLLoL
alors j'ai fait la première technique énoncée, et je trouve
f'(0)=(1-cos x)/x²
on doit faire quoi après ? :s:s
1-cosx est equivalent à quoi en 0 ?
ben... 1-cos x = 0 donc 1 = cos x soit x = 0
mais x²=0 donc ca reste une valeur interdite...
1-cosx est euivalent à x²/2 en 0, il te suffit de poser f'(0)=1/2.
lol on le sort d'ou le x²/2 ?
Essaye d'encadrer cosx-1.
....aie..j'y arrive pas...a mon avis tout le problème doit venir d'ici...
Personne ne sait comment on peut passer de cos x -1 à x²/2 en l'encadant ? ^^
Bonjour.
J'ai mis un peu de temps à trouver une méthode qui ne fasse pas appel aux développement de Taylor, un outil extrêmement utile qui permet à un initié de lever les formes indéterminées les plus compliquées d'un simple coup d'œil.
On veut montrer qu'on a toujours 1-cos(x)<x²/2.
On pose f(x)=1-cos(x)-x²/2
f(0)=0
On dérive f ce qui donne f'(x)=sin(x)-x
f'(0)=0
on dérive de nouveau pour obtenir f''(x)=cos(x)-1
f'' est toujours négative donc f' est toujours décroissante, comme f'(0)=0 on a que f' est positif avant 0 et négatif après 0.
Donc f est croissante avant 0 et décroissante après. Comme f(0)=0 on a bien que f est toujours négative.
On a donc bien 0<1-cos(x)<x²/2
tu n'as plus qu'à conclure.
Bonjour,
je rappelle qu'il s'agit d'un exercice de terminale, pourquoi lui présenter des choses si tordues alors que la question est si simple ?!
Comme l'a suggéré la 1ere personne qui a répondu (zeratul), il suffit de remarquer que f est le taux d'accroissement de cos en 0:
et comme l'on sait que cos est dérivable en 0, la limite existe et c'est bon.
edit: cela suppose bien évidemment que cette personne connaisse la fonction cosinus sur R, et que l'objet de l'exercice ne soit pas son étude
tu dois savoir que tu n'as pas le droit d'écrire f'(0) tant que tu n'as pas vérifié que f est dérivable en 0. pour étudier la dérivabilité de f en 0 il suffit de calculer la lim lorsque x tend vers 0 de
(f(x)-f(0))/(x-0)=(1-cosx)/x^2 et cette limite est très connue dans les limites trigonométriques et elle est égale à 1/2 donc c une valeur finie alors f est dérivable en 0
Exact, sauf que la fonction en question n'est pas cos, mais (1-cos x)/x.
On peut donc penser qu'il a le droit d'utiliser ses connaissances sur la fontion trigo, notamment le fait qu'elle est dérivable en 0.
Je le répète, ceci est valable si l'objet de la question n'est pas de montrer que cos est dérivable en 0.
edit : mais je suis d'accord avec toi ! le calcul de cette limite me semble juste un peu délicat (à en juger par les messages postés) pour une personne de terminale
ERRATUM ne pas tenir compte de mon post précédent !
Je te donne raison mirey
ok c pas grave et merci
Ok pour la terminale mais bon c'est qu'une histoire de limite....
Remarquez que c'est tout de même en terminale que les exos sur les limites sont les plus difficiles. On voit les développement de Taylor en première année postbac ce qui rend toutes les études de limites triviales (si on manipule des fonctions suffisamment régulière tout de même).
