Dérivabilité
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Dérivabilité



  1. #1
    invitee1e1c686

    Question Dérivabilité


    ------

    Je fais un exercice et je dois démontrer que la fonction f est continue et dérivable sur R.
    Pouvez vous m'expliquer un peu ce que ça veut dire et comment faire?
    Je vous donne la fonction, f(x) = 1/2 (x+(1-x)e^²x), mais vous pouvez m'expliquer dans le cas général et je vais essayer de l'appliquer pour cette fonction!

    Merci!

    -----

  2. #2
    JAYJAY38

    Re : Dérivabilité

    Citation Envoyé par HeyJude Voir le message
    Je fais un exercice et je dois démontrer que la fonction f est continue et dérivable sur R.
    Pouvez vous m'expliquer un peu ce que ça veut dire et comment faire?
    Je vous donne la fonction, f(x) = 1/2 (x+(1-x)e^²x), mais vous pouvez m'expliquer dans le cas général et je vais essayer de l'appliquer pour cette fonction!

    Merci!
    Bonjour

    Une fonction réelle d'une variable réelle est dérivable en un point si, et seulement si, elle admet une dérivée en ce point. Elle est dérivable sur un intervalle si, et seulement si, elle admet une dérivée en tout point de cet intervalle.

    Donc pour toi il faut verifier que , est dérvivable sur R.

    Après c'est juste une multiplication de tes fonctions (qui sont derivables) donc ta multiplication sera dérivable.
    Cordialement

  3. #3
    invitee1e1c686

    Re : Dérivabilité

    D'accord mais pour le montrer je dois faire la dérivée?
    par ex: f(x) = x
    donc f'(x) = 1 or 1 appartient à R donc la fonction f(x) = x est dérivable sur R.
    Je suis pas très sure là .... Ca me parait lèger.

  4. #4
    Guillaume69

    Re : Dérivabilité

    Pour ce qui est de la continuité.

    est continue en a si et seulement si
    est continue sur si et seulement si est continue en tout point de

    Une fonction dérivable est continue. Donc dans ton exercice, il suffit de montrer que est dérivable sur R, et tu auras aussi montré qu'elle est continue

    Mais attention : Une fonction continue peut ne pas être dérivable

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Guillaume69

    Re : Dérivabilité

    Citation Envoyé par HeyJude Voir le message
    D'accord mais pour le montrer je dois faire la dérivée?
    par ex: f(x) = x
    donc f'(x) = 1 or 1 appartient à R donc la fonction f(x) = x est dérivable sur R.
    Je suis pas très sure là .... Ca me parait lèger.
    Non, ce n'est pas ça.

    Il faut d'abord montrer que f est dérivable, ensuite tu pourras calculer sa dérivée.

    Quand on s'intéresse à la dérivabilité sur un intervalle on utilise des théorèmes. On ne fait pratiquement jamais de calcul.
    Dans ton exemple, celui-ci te serait bien utile: un polynôme est dérivable sur . Dans ton cas, tu as bien un polynôme ( f(x)=x). f est donc dérivable sur .

    Après seulement, tu peux calculer ta dérivée : f'(x)=1

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