Famille de droites

[invite80be21a5]

Bonjour , j'ai un DM et je bloque sur quelques petites questions

alors voilà : pour tout réel m , on note dm l'ensemble des points M(x;y) tels que mx+(m-2)m-6=0

1) quel théorème permet d'affirmer que dm est une droite ?
je pense pour tout m, l'équation est du type ax+by+c=0 avec a et b non tous les deux nuls (sinon m serait simultanément égal à 0 et à 2), donc que c'est une droite.

2) ensuite tracer d-2 ; d1 et d6
je pense que ces droites devraient être concourante en un point mais quand je trace elles ne le sont pas

3) quelle conjecture faites vous concernant ces droites ? prouvez la .
je conjecture rien puisqu'elle ne sont pas concourante

4)démontrer que toutes les droites dm passent par un point fixe A dont vous préciserez les coordonnées .
il faudrait faire un système je pense mais vu que mes droites ne passent pas par un point fixe A ....

et 5) on note h le projeté orthogonal de 0 sur dm démontrer que le point h est sur le cercle d'équation x²+y²-x(1+a/2)+y(a/2)=0
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[ansset]

Bonjour , j'ai un DM et je bloque sur quelques petites questions

alors voilà : pour tout réel m , on note dm l'ensemble des points M(x;y) tels que mx+(m-2)m-6=0

bonjour,
tu es sur de ton équation initiale ???, je cherche y mais il s'est caché !

[invite80be21a5]

oui je viens de me rendre compte que l'équation c'est mx+(m-2)y-m-6=0

[ansset]

ben, c'est beaucoup plus simple comme ça , non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite80be21a5]

alors oui je vois bien un point commun en ( 4;-3) mais pour le prouver étant donné que c'est une conjecture faut-il que je remplace x par 4 et y par -3 dans les 3 équations ?

[ansset]

ça me semble efficasse comme demonstration.
d'autant que le resultat est le bon !

[invite80be21a5]

alors voilà ce que j'ai fait : j'ai remplacé x par 4 et y par -3 donc je trouve bien la même égalité
ou j'ai fait un système

-x/2-2=y (1)
x-7=y (2)
-3x/2+3=y (3)

-x/2=x-7
7-2 =x/2+x
12/3=x
4=x

je remplace x par 4 dans (2) et je trouve que y=-3

mais ensuite comment démontrer que toutes les droites dm passent par ce point ?

[ansset]

c'est pas trop difficile , si tu remplace x par 4 et y par -3 ;
tu obtient facilement que
mx + (m-2)y = m+6 quelques soit m !!

pour la question précedente, par élégance tu aurais pu simplement poser deux equations à deux inconnus pour "trouver" x et y et verifier que celà fonctionne pour la 3 ème.

[invite80be21a5]

mx + (m-2)y-m-6 =0
4m+(m-2)-3=m+6
4m-3m+6=m+6
m+6=m+6
donc toute les droite dm passent par ( 4;-3)

me reste la question 5)

[ansset]

oui, elle est un plus compliquée.

si je te dis projection orthogonale ?
tu peux peut être utiliser pythagore , non ?

[invite80be21a5]

euh je sais pas trop , pour l'instant je sais que c'est un cercle qui a pour centre ( 2;-1.5) et de rayon: 2.5