[ Dérivation ] Parabole et famille de droites

[invite924f0762]

Bonjour a tous,

pour commencer je vous souhaite une très bonne année 2008 ^^.

J'ai un exercice de mathématique sur la dérivation à faire mais je ne comprend pas la 1ere question de l'exercice(ce qui est très embetant pour la suite).

Voila l'exercice :

Dans un repère, P est la parabole d'équation y = x².
m est un réel et M est le point de P d'abscisse m.

*Jusque là tout va bien*



a) a est un réel, écrire l'équation de la droite Δ passant par M et de coefficient directeur a.
[Questions suivantes :
b) Démontrer qu'étudier le nombre de points d'intersection de Δ et P revient à résoudre l'équation :

(1) x² - ax + am - m² = 0

c) Discuter suivant a, le nombre de solutions de (1).
d) Quelle est la droite Δ qui coupe P en un seul point ?]

Je ne comprend pas exactement ce qu'on demande dans la question a).
J'ai essayé deux calculs qui me parraissent pas très juste.

y = f'(m)(x - m) + f(m)
y = 2m(x - m) + m²
y = 2mx - 2m² + m²
y = 2mx - m²

Mais pour la 2eme question ca me donne : x² - 2mx + m² = 0, or c'est pas ce qu'il demande.
Donc j'ai essayé ce calcul :

y = f'(m)(x - a) + f(m)
y = 2m(x - a) + m²
y = 2mx - 2ma + m²

La je trouvais : x² - 2mx + 2am - m²
Je me dis que je me rapproche pas mal du résultat mais c'est pas encore ça et le (x - a) me posait probleme.

Est ce que la constante 2 est compté dans le a de l'équation donné dans la question b)

Si je trouve : x² - 2ax + 2am - m² = 0, est ce que c'est juste ou pas ?

Sinon, comment faire ?

Merci d'avance
-----

[invite1237a629]

Salut,

On sait que l'équation d'une droite est de la forme y = ax+b

M de coordonnées (m, m²) appartient à cette droite. Donc remplace ce qu'il faut dans y=ax+b

Tu en tires b.

Pour la question b, il faut résoudre l'équation : y=x² et y=ax+b
(un point d'intersection a des coordonnées qui répondent aux deux équations des fonctions)

[invite924f0762]

Merci beaucoup pour cette réponse rapide.

Si je fais cela sous forme d'équation de tangeante, ce la marche t-il aussi.

Voila mon calcul :

y = a(x - m) + f(m)
y = ax - am + m²

Dans ce cas là, ça marcherait pour la 2^ème question.
Mais je ne comprend toujours pas pourquoi on met a à la place de f'(m).

Bon si on admet tout ça, la question b) est très simple.
Mais je ne comprend pas comment faire la question c), par quels moyens ?
Par logique la question d) sera simple si je réussi la c), mais je ne comprends pas comment la faire.

[invite1237a629]

Je ne comprends pas pourquoi faire ça sous forme d'équation de tangente

Ce serait f(0) et pas f(m)

Mais ne te complique pas

Ecris y=ax+b
Et remplace x et y par les coordonnées du point M
Tu auras b en fonction de m et a

Et si ensuite tu écris le système d'équations auquel répondent les coordonnées du point d'intersection de la droite et de la parabole :
y = x²
y = ax+b (avec b que tu as trouvé juste avant)

x² = ax + b

ne cherche pas à partir de l'équation qu'on te donne, pars de l'énoncé. Tu t'embrouilles à vouloir trouver la même chose

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Pour la question c), tu as dû voir les polynômes du deuxième degré.

Quelle est l'étape principale lorsqu'on en cherche les racines ?
Et quelles sont les conditions sur ce résultat pour qu'il y ait des solutions ?

[invite924f0762]

Lol je veux pas t'énerver mais je ne comprend pas ton raisonnement pour la question b)

J'ai m² = am + b et x² = ax + b

Tu auras b en fonction de m et a

Je comprend pas ce que tu veux dire.

[invite1237a629]

Bon, pour reprendre :

On te demande dans la question a) l'équation de la droite passant par M.

Pour ce faire, tu écris l'équation générale d'une droite : y=ax+b

Le point M de coordonnées y=m², x=m (car il appartient à la parabole) appartient à cette droite.
Donc on a l'équation suivante vérifiée :
m²=ma+b

Et donc, tu as b.

Pour la question b) : tout point d'intersection de la droite avec la parabole, de coordonnées (x,y) est sur la droite ET sur la parabole. Donc ses coordonnées vérifient :
y=x²
y=ax+b (b étant écrit en fonction de a et m, que tu as obtenu à la question a) )

Donc x²=ax+b

etc

[invite924f0762]

Ah ! D'accord j'ai compris ce que tu voulais dire par en fonction de m et de a ^^.

J'avais tout compris ton raisonnement mais bon je comprend pas pourquoi tu me dis qu'on doit pas chercher à trouver x² - ax + am - m² = 0.

Je peux pas écrire b - b = (x² - ax) - (m² - am)
Enfin je vois pas comment on pourrait le calculer à part comme çà.

[invite1237a629]

J'avais tout compris ton raisonnement mais bon je comprend pas pourquoi tu me dis qu'on doit pas chercher à trouver x² - ax + am - m² = 0.

Je peux pas écrire b - b = (x² - ax) - (m² - am)

sorry, oublie ça

Bon, alors tu as trouvé pour la question b et c ?

[invite924f0762]

Lol bah je sais pas comment trouvé l'équation donné dans la question b) avec ta méthode.
Je dois faire b - b ou pas ? lol Ca parrait pas très logique...

Parce que ça marche mais c'est le b - b qui me gene.

Si on développe ça :
b - b = (x² - ax) - (m² - am)
0 = x² - ax + am - m²

C'est juste ou pas ?

[invite1237a629]

Oui, si tu veux =)

mais tu peux directement faire comme ça :

m²=ma+b

donc b = m²-am
donc équation de la droite : y=ax+m²-am (solution à la question a)

question b)
y=x²
y=ax+m²-am

donc x²=ax+m²-am

[invite924f0762]

Ah oui vu de là, ça marche et j'ai tout bien compris.
Ok maintenant je passe à la question c).

Pour la question c), tu as dû voir les polynômes du deuxième degré.

Quelle est l'étape principale lorsqu'on en cherche les racines ?
Et quelles sont les conditions sur ce résultat pour qu'il y ait des solutions ?

Le probleme avec cette équation c'est le x et le m normalement on a :

ax² + bx + c ou ax³ + bx² + cx + d ou a₁xⁿ + a₂^n-1... + a

La on a deux variables x et m... J'ai pas encore etudié ça...

A moins que je ne me complique la vie ^^

[invite1237a629]

Non, la variable du polynôme est x.

m est une inconnue.

Ce n'est pas exactement la même chose.

Pour que le polynôme soit égal à 0, il faut certaines conditions sur m.

Et ces conditions sont trouvables en cherchant un certain élément du polynôme que tu as vu bien souvent

[invite924f0762]

Donc on cherche la racine evidente x

On pose f(x) = x² - ax + am - m²

f(1) = 1 - a + am - m²

si m etait égal à 1 alors :

f(1) = 1 - a + a - 1 = 0

Mais je vois pas comment on peut démontrer que m = 1

[invite924f0762]

En fait non ! x doit etre égal à m en fait. Non ?

[invite1237a629]

Non, pas du tout =)

Le delta, ça te dit quelque chose ?

[invite924f0762]

Bien sur mais c'est pour les fonction trinome ^^ lorsque que la fonction est sous la forme : f(x) = ax² + bx + c

Δ = b² - 4ac

Or f(x) = x² - ax + am - m² n'est pas une fonction trinome a moins que je me trompe.

[invite1237a629]

x² - ax + am - m² = 0

Et est-ce que ça, ce ne serait pas une fonction trinôme par hasard ? ^^

Ben si, c'en est une!

trinôme : ax² + bx + c
f(x) : x² - ax + (am-m²)

Quelle condition delta doit-il vérifier pour que le trinôme ait des racines ?

[invite924f0762]

Bah soit il doit etre supérieur à zéro, dans ce cas la il a deux solutions, soit le delta est égal à zéro auquel cas il n'y aurait qu'une solution.
Et si le delta est inférieur à zéro, pas de solution.

Δ = b² - 4ac
Δ = a² - 4 x (am - m²)
Δ = a² - 4am - m²

J'dois être fatigué mais là j'avoue que je suis perdu...

[invite1237a629]

Tu es sur la bonne voie

Δ = a² - 4 x (am - m²)
Δ = a² - 4am - m²

Là, il y a une toute pitite erreur, où est passé le -4 pour m² ?

Après, tu tombes sur une identité remarquable et tu pourras déduire s'il y a ou pas des solutions =)

[invite924f0762]

Oups ! Oui c'est ça j'dois etre fatigué pour faire une erreur pareil...

Δ = a² - 4am + 4m²
Δ = (a - 2m)² or un carré est toujours positif donc (a - 2m)² ≥ 0

Donc l'équation x² - ax + (am-m²) = 0 admet 2 solutions :

x₁ = [-b + √(Δ)] / 2a = (-a + a - 2m) / -2a = m / a
x₂ = [-b - √(Δ)] / 2a = (-a - a + 2m) / -2a = (a - m) / a

L'équation x² - ax + (am-m²) = 0 admet deux solutions x₁ = m / a et x₂ = (a - m) / a.

Donc P et Δ se coupent en m / a et en (a - m) / a

C'est juste ?

[invite924f0762]

Et pour la question d)(Quelle est la droite qui coupe la courbe P en un seul point)

C'est la tangente et je la calcule :

y = f'(m)(x - m) + f(m)

Comme f(x) = x² alors f'(x) = 2x

y = 2m(x - m) + x²
y = 2mx - 2m + x²
y = x² + 2mx - 2m

Est ce que c'est juste aussi ?

[invite924f0762]

Est ce juste ?

[invite924f0762]

S'il vous plait, j'ai besoin de savoir si je suis sur la bonne piste ou pas.

[invite1237a629]

Re,

Pour la question d), je ne pense pas que ce soit cela qu'on te demande. Regarde la question précédente : deux cas, un où il y a une seule solution (i.e. la droite coupe P en un seul point), un où il y a deux solutions (deux points d'intersection).

Donc tu as juste à te servir des résultats précédents.

[invite924f0762]

Re-bonjour,

Je me corrige pour le Δ :

x₁ = m
x₂ = a - m

Bah j'ai jsute à dire que lorsque Δ=0 alors il n'y a qu'une solution.
Et je calcule la solution.
Je trouve :

Comme Δ=0 alors l'équation n'a plus qu'une solution :

x = -b / 2a
x = a / 2

Mais le probleme, c'est que ma solution n'est pas égale à l'un des 2 résultats que j'ai trouvé dans la question c)...

Merci d'avoir pu me répondre ^^

[invite924f0762]

Ou alors logiquement ce serait m, mais il demande une équation de droite...

[invite1237a629]

Je n'ai pas compris d'où tu sors tes résultats en fait...
Tu as
x² - ax + am - m² = 0

Delta = a²-4(am-m²) = (a-2m)²

Donc l'équation n'a qu'une seule solution que lorsque Delta = 0. Càd a-2m = 0

Et après, tu remplaces dans -b/2a...avec ce que tu as eu pour b dans une question précédente et ce que tu as eu pour a.

[invite924f0762]

Ok on avait trouvé b = m² - am et pour a on avait rien...

Donc :

x = -b / 2a
x = -(m² - am) / 4m
x = (-m² + am) / 4m
x = (a - m) / 4

C'est juste ?

[invite1237a629]

Non, tu veux x en fonction de m (enfin ça me semble plus logique), donc remplace les a
Et normalement, ça doit bien se simplifier