QUESTION SIMPLE SUR LES COMPLEXES Terminale S

[invite4d474dbc]

Bonjour.
Je bloque totalement sur une question qui, je pense, est pourtant plutot simple. La voici:

(1): z²-(1+3i)z-6+9i =0
(2): z²-(1+3i)z+4+4i =0

Monter que l'équation (1) admet une unique solution réelle z1 et l'équation (2) une unique solution imaginaire pure z2.

J'ai commencé par dire que si (1) admettait une unique solution réelle, alors z=x. J'ai donc posé:
x²-(1+3i)x-6+9i =0
<=> x²-x-6-i(3x-9) =0
Sauf que comme c'est une solution reelle il n'est pas censé y avoir de i... Comment faire pour m'en débarrasser?
J'ai aussi calculé le discriminant de x²-x-6, égal à 25. Mais la aussi, si le discriminant est positif il y a 2 solutions... Or, on doit trouver une unique solution...

Si quelqu'un pouvait m'aider assez rapidement... Merci beaucoup.
-----

[invitea3eb043e]

x²-(1+3i)x-6+9i =0
<=> x²-x-6-i(3x-9) =0
Sauf que comme c'est une solution reelle il n'est pas censé y avoir de i... Comment faire pour m'en débarrasser?

T'en débarrasser ? Faire x=3 par exemple et vérifier que ça annule aussi la partie réelle.

[invite4d474dbc]

Oui, j'ai trouvé 2 solutions en factorisant: 3 et -2. Avec le calcul du discriminant. Mais il faut une unique solution...
donc?!

[invitea3eb043e]

Pour le 1er exo : tu as cherché quelle pouvait être une solution REELLE et tu as trouvé que ça ne pouvait être que 3 et que c'était bien 3 (facile à vérifier).
Il y a bien sûr une autre solution, complexe. Tu peux la trouver via le produit des racines qui vaut c/a = -6+9i donc la seconde solution sera -2+3i
Il n'y a bien qu'une solution réelle.

[A voir en vidéo sur Futura]