exercice maths, équation. 1ère S

[invite7bd93e0b]

Bonjour, j'ai un DM de maths a faire, et je n'comprend pas vraiment.
Exercice 2:
L'espace est muni d'un repère orthonormal d'origine O.
Soit S la sphère de centre O et passant par le point A de coordonnées (2;-2;1) et le plan P d'équation z= -2
a) Le plan P coupe-t-il la sphère S ? si oui, pourquoi ?
b) Déterminer une equation de la sphère S. En déduire une équation de l'intersection de P et de S.

Pour le b) je pense qu'il faut faire :
x²+y²+z²=r²
2²+ (-2)²+1²=r²
9=r²
et donc r=3

Mais après je n'sais pas du tout quoi faire
Repondez-moi svp !
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[fiatlux]

Salut, bienvenue sur le forum,

Pour le b pour l'instant c'est tout bon, tu as trouvé l'équation de ta sphère (). L'intersection avec P se fait simplement en "mélangeant" les équations de P et de la sphère, autrement dit en injectant par exemple z=-2 dans l'équation de ta sphère.

Pour le a, tu peux par exemple calculer le rayon de ta sphère (ce que tu as déjà fait au b) et donc la réponse devrait te sauter aux yeux (si c'est pas le cas, fais un dessin, tu verras tout de suite)

[invite7bd93e0b]

D'accord merci !
Je pense que j'ai trouvé !
Mais J'ai un autre souci maintenant c'est avec l'exercice 4 :
Soit deux point A (1;2;-1) et B (0;-2;3).
a) On admet que l'ensemble des points de l'espace equidistants de deux points donnés est un plan appelé plan mediateur du segment determiné par ces deux points.
Démontrer que M (x;y;z) appartient au plan médiateur de [AB]
si et seulement si 2x+8x-8z+7=0.
Cette equation est une équation du plan médiateur du segment [AB].

Là, je bloque... Je ne sais pas par où commencer. Je pense qu'il y a plusieurs étapes, mais je ne voit pas du tout lesquelles :S.

[fiatlux]

Je sais pas quel niveau tu as en géométrie exactement, mais il y a plusieurs façon de faire (comme souvent...).

Une première chose que tu peux faire, c'est facile et ça ne coûte rien, c'est de calculer par exemple les coordonnées du point I qui est à mi-distance entre A et B. Ca te donne déjà un point du plan, c'est pas mal pour commencer.

Ensuite, et c'est là que ça dépend de si t'as déjà vu ces notions en cours ou pas:
- Quand tu as un plan donné sous sa forme cartésienne (ax+by+cz+d=0) comme c'est ton cas, le vecteur normal à ce plan c'est le vecteur . (dans ton cas (2,8,-8)). Donc il te suffit de montrer que le vecteur est colinéaire à (ça prend au grand maximum 30 secondes), puis de vérifier que I satisfait effectivement l'équation du plan (puisqu'il appartient à ce plan) et c'est fini.
- Il y a d'autres méthodes avec des produits vectoriels mais qui finissent de toute façon par se ramener au vecteur normal donc...

NB: deux vecteurs et sont colinéaires s'il existe un nombre réel k tel que
NB: rappel sur le vecteur normal d'un plan: le vecteur normal à un plan c'est le vecteur qui "sort" perpendiculairement de ce plan. Si par exemple tu te tiens debout sur le sol, alors toi t'es un vecteur normal au sol (j'explique comme je peux, hein...!)

[A voir en vidéo sur Futura]