Démonstration complexe
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Démonstration complexe



  1. #1
    cpalperou

    Démonstration complexe


    ------

    petite démo que je n'arrive pas à faire:

    soit le point M d'affixe z et le point M' d'affixe z'.
    Démontrer que O, M et M' si et seulement si Im(z'.z-)=0
    z- étant le conjugué de z.
    Merci de m'aiguiller pour le début de cette démonstration sachant que je ne peux pas utiliser le produit vectoriel

    -----

  2. #2
    sender

    Re : Démonstration complexe

    Je pense que tu voulais dire OMM' aligné. Si ce n'est pas le cas modifie ton message:
    Si OMM' sont alignés alors OM=kOM' (colinéaire) donc z=kz' (k dans R).
    donc z/z' = k en passant à l'argument, on obtient arg(z/z')=0 +p*pi/2 (argument d'un réel=0+k*pi/2)
    arg(z)-arg(z')=0 d'où arg(z')=arg(z)=-arg(z`) donc arg(z'.z`)=0 donc z'.z`est réel donc Im(z'.z`)=0 cqfd. (z`est le conjugué de z')
    Pour le démontrer dans l'autre sens tu remontes les calculs

  3. #3
    cpalperou

    Re : Démonstration complexe

    Merci sender,
    il s'agissait bien de démontrer O, M et M' alignés.
    Par contre, l'argument d'un réel n'est-il pas plutôt 0+k*pi ?

    Dans la suite de l'exercice, on considère toujours ce point M d'affixe z (non nul), un point N d'affixe z²-1 et un point P d'affixe (1/z²)-1. Le but est de chercher l'ensemble des points M tel que O, N et P soient alignés.
    La première question est de démontrer que ((1/z²)-1)*(z²-1)=-z-2*|(1/z²)-1|² Les barres verticales représentant le module. Ca, j'ai su le faire en utilisant |z|²=z.z-.
    Puis, en utilisant l'équivalence montré préalablement (O, M, M' alignés si Im(z'.z-)=0, conclure sur l'ensembre recherché.
    La, je ne suis pas sûr: j'ai trouvé que les seuls oints M qi fonctionneraient sont ceux d'affixe +1 et -1.
    Ce qui m'étonne c'est que ça implique zN=zP=0!! Soit, O, N, P alignés et même confond! Je pense m'être trompé!

  4. #4
    sender

    Re : Démonstration complexe

    Citation Envoyé par cpalperou Voir le message
    il s'agissait bien de démontrer O, M et M' alignés.
    Par contre, l'argument d'un réel n'est-il pas plutôt 0+k*pi ?
    En fait si je me suis trompé mais je ne pense pas que ça change le résultat... (si c'est pi/2 c'est un imaginaire pur).

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    cpalperou

    Re : Démonstration complexe

    effectivement, ça ne change pas le résultat!
    Et pour l'ensemble que je recherche, une idée?

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