petite démo que je n'arrive pas à faire:
soit le point M d'affixe z et le point M' d'affixe z'.
Démontrer que O, M et M' si et seulement si Im(z'.z-)=0
z- étant le conjugué de z.
Merci de m'aiguiller pour le début de cette démonstration sachant que je ne peux pas utiliser le produit vectoriel
Je pense que tu voulais dire OMM' aligné. Si ce n'est pas le cas modifie ton message:
Si OMM' sont alignés alors OM=kOM' (colinéaire) donc z=kz' (k dans R).
donc z/z' = k en passant à l'argument, on obtient arg(z/z')=0 +p*pi/2 (argument d'un réel=0+k*pi/2)
arg(z)-arg(z')=0 d'où arg(z')=arg(z)=-arg(z`) donc arg(z'.z`)=0 donc z'.z`est réel donc Im(z'.z`)=0 cqfd. (z`est le conjugué de z')
Pour le démontrer dans l'autre sens tu remontes les calculs
Merci sender,
il s'agissait bien de démontrer O, M et M' alignés.
Par contre, l'argument d'un réel n'est-il pas plutôt 0+k*pi ?
Dans la suite de l'exercice, on considère toujours ce point M d'affixe z (non nul), un point N d'affixe z²-1 et un point P d'affixe (1/z²)-1. Le but est de chercher l'ensemble des points M tel que O, N et P soient alignés.
La première question est de démontrer que ((1/z²)-1)*(z²-1)=-z-2*|(1/z²)-1|² Les barres verticales représentant le module. Ca, j'ai su le faire en utilisant |z|²=z.z-.
Puis, en utilisant l'équivalence montré préalablement (O, M, M' alignés si Im(z'.z-)=0, conclure sur l'ensembre recherché.
La, je ne suis pas sûr: j'ai trouvé que les seuls oints M qi fonctionneraient sont ceux d'affixe +1 et -1.
Ce qui m'étonne c'est que ça implique zN=zP=0!! Soit, O, N, P alignés et même confond! Je pense m'être trompé!
En fait si je me suis trompé mais je ne pense pas que ça change le résultat... (si c'est pi/2 c'est un imaginaire pur).Envoyé par cpalperou
effectivement, ça ne change pas le résultat!
Et pour l'ensemble que je recherche, une idée?
