DM exp

[sendy76]

Bonjour j'ai commencé à faire mon exercice mais je bloque depuis 1 heure... J'aurai besoin d'un petit peu de votre aide s'il vous plait

On se propose d'étudier la fonction f sur ]0;+00[ par :
f(x) = (x+1) e^-1/x
On note C la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal ( O, i ,j)

1. Variation de f
a) Déterminer la dérivée f' de f sur ]0;+00[
j'ai trouvé comme dérivée : f'(x)= e^-1/x [(x²+x+1)/x²] mais je n'en suis pas du tout sur !

b) Etudier le sens de variation de f. j'ai trouvé que f était décroissante sur ]-00;-1] et croissante sur [-1;+00[ mais pareil je ne suis pas sur du tout, même presque sur que j'ai faux :s

c) Déterminer la limite de f en +00 J'ai trouvé +00

2. Etude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur [0;+00[ par :
g(u)=1-(1+u)e^-u
a) Calculer la dérivée de g. j'ai trouvé g'(u)= e^{-u (2-u)}
b) Prouver que, pour tout u>0 : 0<g'(u)<u à partir de là je n'y arrive pas trop
c) En déduire que, pour tout u>0 : 0<g(u)<(u²/2)
(pour la seconde inégalité, on pourra étudier la fonction u-->g(u) -(u²/2).

3. Etude de f au voisinage de +00
a) A l'aide de 0<g(u)<(u²/2), établir que pour tout x>0 :
0<x-f(x)<(1/2x)
b) En déduire que C admet une asymptote delta en +00, préciser la position de C par rapport à delta
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[invite61601559]

f ' (x) correct et strictement positif sur R-(0) donc f tjs strct.croissante sur chaque intervalle du domaine de déf
lim en +00 correcte à expliquer cependant
g ' (u ) est fausse ici on trouve
g '(x) = uexp(-u) strictement positive car u et exp(-u) le sont...

comme u est strict. positif -u est strict. négatif et exp(-u) est strict. inf à exp0=1 , on multiplie les 2 membres par u ( stric. positif ) l'inégalité reste et on a : 0 strict. inf à uexp(-u) strict. inf à u

A vous la suite..

[invite61601559]

Bon encore un peu...
0 strict. inf à g(u) est vrai car ici g ' est strict. positive donc g strict. croissante sur 0 à + 00
donc si u est strict. positif , g(u) est strict. sup à g(0) = 0

pour l'autre inégalité étudiez la fonction donnée et montrez avec son T de V que cette fonction est tjs négative strictement si u est strict. positif donc on a bien g(u) strict. inf à u²/2
Au boulot maintenant

[sendy76]

Merci beaucoup !!! Mais je n'ai pas compris comment on arrive ça à la dérivée g'(u) ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[sendy76]

et je ne comprend pas cette phrase... "montrez avec son T de V que cette fonction est tjs négative " Que sont T et V ??

[invite61601559]

T de V = tableau de variation de la fonction....

g(u)= 1-( 1+u)exp(-u) donc
g '(u) = 0 - ( 1xexp(-u) + (-1exp(-u)x( 1+u) ) = u exp(-u) OK ?

[invite61601559]

Je ne comprends pas avec "s " ...

[sendy76]

Merci, et donc quand on fait la dérivée de la fonction donnée, ça donne u(exp(-u)-1) ?

[invite61601559]

non pas de -1 !!!
g'(u) = u exp(-u) j'ai fait le calcul ci-dessus...
L'ombre d'un début d'une esquisse de soupçon se profile à l'horizon de mes doutes là...Avez vous recalculé g' ??? Un doute me ronge là !!!

[invite61601559]

Ne jamais dire " je fais la dérivée" mais je calcule la dérivée de g

[sendy76]

Oui oui j'ai bien compris pour la dérivée de g'(x) ! Mais apres on me dit :
" c) En déduire que, pour tout u>0 : 0<g(u)<(u²/2)
(pour la seconde inégalité, on pourra étudier la fonction u-->g(u) -(u²/2)."
et au calcul de u-> g(u)-(u²/2) je trouve : u -> 1-(1-u)exp-u - (u²/2)
u' = (u)x exp(-u) - u
u'=u (exp(-u) -1)

[invite61601559]

Pas u'=... mais par ex. h ' (u ) =u(exp(-u) - 1) où h(u)= g(u) -( u²/2)

le tableau de variation de h permettra de conclure ce que veut l'énoncé à savoir 0< g(u)< u²/2

[sendy76]

Oui mais justement j'arrive pas a avoir un tableau de variation valable...-_-
J'ai:
u________-00___0____+00
u___________-____+_____
exp-u-1______-____+_____
signe de h'(x)__+____+____

[invite61601559]

dans cette question , on a u positif ou nul donc dans le tableau de v ne pas considérer -00 0 mais seulement [0 , +00 (
de plus en 2 c) on considère u>0 ( donc u strictement positif)
alors h '(u) = u ( exp(-u)-1) est du signe de exp(-x)-1
mais u>o donc -u<0 et exp(-u)<exp0=1 donc exp(-u)-1<0 donc h' <0 sur ]0, +00 [et h est strictement décroissante sur ]0,+00[
donc si u>0 on a h(u)<0 ou g(u)-u²/2<0 ou g(u)<u²/2
votre signe de la dérivée h ' est faux dans votre tableau de variation

[invite61601559]

h ' est du signe de exp(-u)-1 ( remplacer x par u , excuse me !!!)

[invite61601559]

De grâce pas de u' car ici u est la variable relative à la question 2)
Il faut utiliser h et h' donc h(u) et h' (u) les maths sont une science très rigoureuse....

[sendy76]

Merci beaucoup j'essaye de faire la suite =D

[sendy76]

Pour la question 3a) j'arrive à démontrer que c'est plus grand que 0, et je pense qu'il faut faire P(x) = x-xexp(-1/x)-exp(-1/x)-1/2x et étudier le signe de la dérivée, comme on a fait dans la question précédente, mais je n'arrive pas à dériver la fonction...:S

[invite61601559]

Pas du tout , utilisez ce qu'on donne
0<g(u)<u²/2 et la réponse coulera se source...

[sendy76]

J'aimerais bien que la réponse coule de source pour moi aussi, mais malheureusement ce n'est pas l'cas

[invite61601559]

Je mesure le drame...

Bon....Un sourire de ta part et je continue

[sendy76]

Merciii (je suis un cas désespéré...-_- )

[invite61601559]

All right let's go . Here's the answer.
Das ist ganz einfahr ...( c'est tout simple )
On a vu que si u>0 0<g(u)<u²/2 (*) oui ?
u>0 veut dire que u prend toutes les valeurs de ]0;+00[ oui ?
je peux donc poser u=1/x et là x=1/u prendra toutes les valeurs de l'intervalle ]0;+00[ c'est pour cette raison qu'on peut dire
Pour tout x>0 on a 0<g(1/x)< (1/x)²/2 ( on a remplacé u par 1/x dans (*))
ou 0< 1-(1+1/x)exp(-1/x) < 1/ ( 2x²) si je multiplie les inégalités par x ( qui est POSITIF stictement ) elles ne changent pas de sens et on a 0< x-(x+1)exp(-1/x)<1/(2x)
Ne désespère pas , cas désespéré Are you a boy or a girl ?

[sendy76]

A desperate girl who is unable to finish her DM alone ! J'ai compris la démarche, mais j'ai juste pas compris pourquoi on multiplie tout par x, mais exp(-1/x) reste pareil ? Dans : [0< 1-(1+1/x)exp(-1/x) < 1/ ( 2x²) ] ; Parce qu'il sera multiplier après par le terme (1+1/x) ? :S
Et je ne comprend pas la question suivante...
(et merci beaucoup, c'est vraiment gentil de m'aider! )

[invite61601559]

réponse à ma dernière question ? ( je ne l'ébruiterai pas )

[sendy76]

J'ai écris : a desperate girl, so i'm a girl ! C'était bien ça la derniere question?

[invite61601559]

Bon suis-je bête mais ne l'ébruite pas trop !!!
Bon alors je continue tu me dis dans quelle ville tu es et mes questions cesseront là ce n'est que de la curiosité crois moi ..
je te rédigerai la fin de l'exo;

[sendy76]

Rouen, je dois éteindre, je lirais demain, merci beaucoup en tout cas !

[invite61601559]

Je lirai ( le futur )

http://www.leconjugueur.com/php5/index.php?v=lire
On a 0<1-(1+1/x)e^(-x) <1/(2x²)
( j'ai noté e^(-x) pour exp(-x) )
quand tu " fais " par ex. 2x3x4 tu dis 6x4 ou 2x12 donc 24
ici de même
0fois x= 0
1fois x= x
( 1+1/x) e^(-1/x) fois x = ( x +1 )e^(-1/x) ou ( 1+1/x) .x.e^(-1/x)
( le . est " multiplié par ") donc tu multiplies x+1 par x ou e^(-x) par x , PAS LES DEUX ( voir mon ex avec chiffres au-dessus )
Puis 1/(2x²) fois x donne 1/(2x) OK ? donc au final
0<( x-(x+1).e^(-1/x)< 1/(2x)

[invite61601559]

On a donc bien 0<x-f(x)<1/(2x)
ceci sert pour la suite ..Si x tend vers +00 maintenant alors 2x aussi et 1/(2x) tend vers 0 d'où x-f(x) entre 0 et 1/(2x) qui tend vers 0 , tend aussi vers 0 donc delta d'équation y=x ( première bissectrice ) est une asymptote oblique au voisinage de +00
Comme 0<x-f(x) ceci veut dire que x> f(x) et delta est au-dessus de la courbe ou celle-ci est sous delta
NB. si x>0 soit M( x;x) sur delta et N(x;f(x)) sur la courbe
( même abscisse x pour chaque point )
alors x-f(x) est la distance ( positive bien sûr , sinon on aurait pris f(x)-x ) entre M et N donc MN qui tend vers 0 et M se rapprochera indéfiniment de N donc ( voir sur le graphique à tracer avec la calculatrice ) delta est bien une asymptote oblique pour la courbe ( la courbe va " s'écraser " sur la droite sans la traverser car x> f(x) pour tout x >o FIN