Equation - trinôme du second degrès

[invitefba353f4]

Bonjour,
J'ai quelques problèmes avec cet exercice.

Déterminer une équation de la parabole P vérifiant:

a) P coupe l'axe des abscisses en A(-2 ; 0) et B(3 ; 0) et l'axe des ordonnées en C(0 ; -3).

b) P coupe l'axe des abscisses en A(-2;0) et B (3;0) et passe par le point D(1 ; 4).

c) P passe par les trois points E(4 ; 0) , F(1 ; 3/2) et G(-1 ; -5/2).

d) P coupe l'axe des abscisses en l(1 ; 0) et B(3 ; 0) et l'ordonnée de son sommet est 3.

e) P est tangente à l'axe des abscisses en H(-3 ; 0) et coupe l'axe des ordonnées en K(0 ; 3).

f) P est tangente à l'axe des abscisses en L(2 ; 0) et passe par M(1 ; -2).

J'ai trouvé pour la a) 1/2x² - 1/2x - 3 et pour la b) -2/3x² + 2/3x + 4

Pour la c) je ne vois pas trop ... faut-il utiliser une equation à 3 inconnus ? Si oui pouvez vous me donner la méthode !

Merci
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[invitefa784071]

Tu poses ton equation : y=ax²+bx+c et tu remplaces les coordonnées de tes différents points pour avoir un système linéaire de trois equations à 3 inconnues...
Bonne chance

[invitefba353f4]

j'ai jamais fais de systeme à 3 inconnus ! J'ai essayer de tenter mais je me perd avec toute les lettres ! Je reessaye ...

[invitefa784071]

c) P passe par les trois points E(4 ; 0) , F(1 ; 3/2) et G(-1 ; -5/2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefba353f4]

oui ça je sais, mais apres il faut isoler chaque lettre sur une ligne ?

[invitefa784071]

tu le résouts comme uns sytème de deux equations à deux inconnus... sauf que c'est plus long : tu as le choix soit d'exprimer une des variables en fonction des deux autres et alors tu te ramènes à un sytème de deux equations a deux inconnues soit de trouver une combinaison linéaire qui supprime une des variables (par exemple (1)-(2) et (1)-(3) pour éliminer c)... a toi de voir lequel tu choisis

[invitefa784071]

Le mieux étant de faire (2)-(3) tu isoles tout de suite b et après c'est facile (facon de parler).

[invitefba353f4]

J'ai trouvé l'equation : -2x² + 2x + 3/2 . C'est ca ?

[invitefba353f4]

Je me suis trompé, je crois que c'est plutot : -1/2x² + 2x

[invitefa784071]

Non, la meilleur preuve étant que ta fonction ne s'annulle pas en 4 alors qu'elle le devrait.
la solution est b=2
a=-1/2
c=0

[invitefa784071]

Maintenant effectivement tu as raison... tu as été plus rapide que moi.

[invitefa784071]

Félicitation, tu veins de résoudre ton premier système linéaire de 3 equation à trois inconnues. Figure toi que tu n'es pas obligé de te limité à 3 equations à 3 inconnues mais tu peux résoudre tout système linéaire de n equations à n inconnues de la même manière (ou presque...).

[invitefba353f4]

Youpi ! Mais je bloque pour la d) . Il manque l'abscisse du sommet ...

[invitefa784071]

Le sommet d'une parabole est le point où la dérivée de la parabole s'annule c'est à dire tu à l'equation 2ax +b =0 donc x=-b/2a

[invite3ba0dddb]

salut,
la parabole est symétrique donc quel est l'abscisse du sommet?

[invitefba353f4]

On n'a pas encore vu les dérivées mais x=-b/2a je suis d'accord.
Mais apres ? il faut que je remplace x dans P(x) = ax² -4ax + 3a ?

[invitefa784071]

tu utilise ce x dans ton equation:
P(x_S)=3=a*(-b/2a)^2+b(-b/2a)+C

[invitefba353f4]

On ne peut pas utilisé cette equation P(x) = ax² -4ax + 3a ? car I(1,0) et B(3,0) donc P(x) = a(x-xI)(x-xB)
P(x) = a(x-1)(x-3)
P(x) = ax² -4ax + 3a

C'est ce que j'ai utilisé pour la a) et la b)

[invitefa784071]

Tu peux (tu dois ?) evidemment utiliser ça.
donc b=-4a et c=3a ce qui ne change rien au final...

[invitefba353f4]

je me retrouve avec 3 = (ab²/4a²) + (4ab/2a) + 3a

Je ne sais vraiment pas quoi faire ....

[invitefa784071]

EN FAIT NORMALEMENT tu n'as plus de b ni de c mais seulement du a:
x_S=-b/2a donc x_S=-4a/2a=-2
Ensuite il te suffit de placer x_S dans ton equation y=a(x-xI)(x-xB) (où x=x_S) et alors tu auras une equation du premier degré en a (y=3 d'après l'énoncé)

[invitefba353f4]

Je comprend pas pourquoi il ne reste plus de b et de c ???

[invite3ba0dddb]

si t'arrive pas avec çà méthose utilise ma méthode:
f(1)=f(3)=0
la parabole est symétrique donc l'abscisse du sommet se trouve où?

[invitefba353f4]

l'abscisse du sommet est 2, enfin je crois ? Mais comme l'expliquer , Simplement en disant que la parabole est symétrique ?

[invitefba353f4]

L'equation serai alors x² - 4x + 3 ?

[invite3ba0dddb]

non le résultats c'est(de mémoire^^) -3x^2+12x-9

[invitefba353f4]

c'est bien ce systeme à résoudre :
0=a+b+c
0=9a+3b+c
2=-b/2a

[invite3ba0dddb]

non
tes données sont
P(1)=0
P(3)=0
P(2)=3 car la parabole est symétrique par rapports à la droite x=2
ce qui revient à résoudre ceci:

[invitefba353f4]

Merci beacoup ! J'ai résolu et tu avais bien raison, l'equation est bien -x²+12x-9.
Pour la e) l'équation de la tangente c'est bien P'(x) = 2ax+b ?

[invite3ba0dddb]

non çà c'est la dérivée^^
les tangentes en un points a s'écrivent de cette façon:
f'(a)(x-a)+f(a)

mais comme tu n'as pas vue les dérivées, vaut mieux utilisé d'autre méthode