Les probabilités

[invite43ba9278]

bonjour a tous,
il y a un problème qui me pose beaucoup plus de soucis que je ne le pensais...après plusieurs heures de réflexion sans succès, je me suis dirigé vers ce forum :
énoncé: 3 boules, une jaune,une rouge, une bleue contenues dans un sac.
Je fais des tirages successifs d'une boule en remettant a chaque tirage la boule tirée dans le sac.
Quelle est la probabilité pour que la boule rouge tombe au troisième tirage sachant qu'elle n'est pas tombé au deux tirages précédents?
Franchement j'ai posé le problème dans tout les sens pas moyens de trouver si quelqu'un trouve je lui tire mon chapeau...

Au troisième tirage, comme à tous les tirages la boule rouge à 1/3 de chances d'être tirée. Mais c'est la probabilité de l'évènement "sachant qu'elle n'est pas tombée au deux tirages précédents" qui me pose problème.

Bon courage. Merci a tous.
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[invité576543]

Bonjour,

il y a un problème qui me pose beaucoup plus de soucis que je ne le pensais...après plusieurs heures de réflexion sans succès, je me suis dirigé vers ce forum :
énoncé: 3 boules, une jaune,une rouge, une bleue contenues dans un sac.
Je fais des tirages successifs d'une boule en remettant a chaque tirage la boule tirée dans le sac.
Quelle est la probabilité pour que la boule rouge tombe au troisième tirage sachant qu'elle n'est pas tombé au deux tirages précédents?
Franchement j'ai posé le problème dans tout les sens pas moyens de trouver si quelqu'un trouve je lui tire mon chapeau...

Au troisième tirage, comme à tous les tirages la boule rouge à 1/3 de chances d'être tirée. Mais c'est la probabilité de l'évènement "sachant qu'elle n'est pas tombée au deux tirages précédents" qui me pose problème.

Dans quel cadre posez-vous cette question? Dans le cadre des études (un problème posé par un prof)? Ou comme "questionnement de curieux" (en particulier pas satisfait par la réponse usuelle au problème)?

Selon le cas, la discussion que cela peut amener n'est pas la même.

En attendant la réponse, il me semble utile de préciser que, si c'est un "questionnement de curieux", ce n'est pas du tout une question idiote ou triviale, et bravo pour l'avoir posée.

Cordialement,

[invite43ba9278]

Non il n'y a aucun lien avec les études, C'est un pur questionnement de curieux, née à la suite d'une rélfexion sur le jeu de la roulette... et plus je butte sur le problème plus j'ai envi de la résoudre...et ce qui m'ennerve c'est que je croyais le problème simple et or ça fait pas mal de temps que je me prend la tête dessus.
avez-vous une idée de la réponse? si oui je veux bien que vous m'expliquiez le raisonnement car résultat m'importe peu, c'est plus la démarche que je voudrai comprendre...merci

[invité576543]

En résumé, on ne peut pas répondre à la question (i.e., donner une valeur chiffrée à la probabilité), faute de données.

Et ce n'est pas un résultat négatif, c'est un résultat profond si on comprend la nature des données manquantes.

Au premier tirage, si on modélise une symétrie totale entre les trois couleurs, la seule valeur de probabilité possible est 1/3 pour chaque couleur. Ce résultat est atteint par simple considération de symétrie.

Mais pour les tirages suivants, la connaissance de ce qui a été tiré avant détruit la symétrie, et la méthode appliquée pour le premier tirage n'est plus valable.

Pour pouvoir donner une probabilité, il faudrait modéliser l'opération "remettre une boule dans le sac".

Et cela n'est pas trivial; il y a des tas de méthodes, et selon la méthode les probabilités sont différentes.

Prenons un extrême : la boule est remise au-dessus du tas, et on tire toujours celle au-dessus du tas. Alors la réponse à votre problème est clairement 0.

Autre extrême, la remise est une permutation circulaire. La réponse à la question est clairement 1.

Donc toutes les valeurs entre 0 et 1 sont possibles, suivant ce que veut dire "remettre dans le sac".

La réponse usuelle est 1/3 (les tirages successifs sont modélisés comme indépendants, c'est à dire expressément avec des probabilités qui ne dépendent pas de tirages passés).

Mais il faut réaliser que c'est faire une hypothèse qui est équivalente à donner la réponse!

Voyons ce qu'il se passe en pratique. Si on prend un modèle physique réaliste de "remettre dans le sac", il va falloir étudier les mouvements de la main, la forme du sac, les mouvements des boules dans le sac, etc. Cela est horriblement complexe, et dans les cas de la vie courante impossible à faire.

Il reste deux cas traitables : un modèle simpliste de remise des boules (par exemple un nombre limité de permutations possibles, et un modèle probabiliste sur ces permutations), ou faire l'hypothèse d'indépendance, quitte à la justifier a priori et/ou a posteriori.

Une justification a priori prend usuellement la forme de la "randomisation" : on "mélange au hasard" les boules. Ce qui ne veut rien dire d'autre qu'on procède à des manipulations qui empiriquement font que le modèle "indépendance" fonctionne bien.

Une justification a posteriori consiste à faire les expériences, passer des tests statistiques et montrer que l'hypothèse "indépendance" n'est pas invraisemblable. (Cela ne prouve pas grand chose, sinon qu'on n'a pas fait n'importe quoi en prenant cette hypothèse jusque là.)

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En résumé: il n'y a pas de réponse unique et rationnelle à la question, faute de données précises sur ce qu'on entend par "remettre la boule tirée dans le sac". On donne souvent la réponse 1/3 (i.e., indépendance) en ayant soin de faire intervenir un processus de remise le plus compliqué possible, le "mélange au hasard" (secouer longuement et n'importe comment le sac ). Cela est souvent un modèle empiriquement valable dans la pratique, et on l'applique par empirisme.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite43ba9278]

merci pour votre réponse, en effet, je pense avoir manqué de précisions:
si je rajoutte cette donnée: imaginons qu'il s'agit d'un sac virtuel ou les tirages se base sur un algorythme qui imite le hasard ou du moins qui s'en rapproche beaucoup, alors vous êtes d'accord avec moi que si la boule n'a pas été tiré lors des 10 derniers tirages, elle a plus de chance d'être tirer au tirage suivant que si elle vient d'être tirée au tirage précédent???

[invité576543]

si je rajoutte cette donnée: imaginons qu'il s'agit d'un sac virtuel ou les tirages se base sur un algorithme qui imite le hasard ou du moins qui s'en rapproche beaucoup, alors vous êtes d'accord avec moi que si la boule n'a pas été tiré lors des 10 derniers tirages, elle a plus de chance d'être tirer au tirage suivant que si elle vient d'être tirée au tirage précédent???

Non, pas d'accord!

Dire "imiter parfaitement le hasard" ne veut rien dire de plus que l'indépendance entre tirage successifs, c'est à dire explicitement qu'il y a exactement "autant de chance d'être tirée au tirage suivant" qu'elle ait été tiré ou non lors du tirage précédent (plus généralement, quels qu'aient été les tirages précédents).

Contraposée : si elle a plus de chance d'être tirer au tirage suivant que si elle vient d'être tirée au tirage précédent, alors la plupart des gens considèreraient que la remise "n'est pas parfaitement au hasard".

Cordialement,

[Médiat]

vous êtes d'accord avec moi que si la boule n'a pas été tiré lors des 10 derniers tirages, elle a plus de chance d'être tirer au tirage suivant que si elle vient d'être tirée au tirage précédent???

Bonjour,
Ce type de "sentiment" est à la base d'une arnaque (je crois, aujourd'hui interdite) qui consistait à vendre des journaux pour augmenter ses chances en jouant au loto.
Le raisonnement (basé sur le sentiment précédent) consistait à dire que chaque N° a la même chance que les autres de sortir, donc si un N° a, à un instant donné, une fréquence de sortie observée inférieure à la prévision, ce N° "aura envie" de sortir plus que les autres, afin de rattraper son retard (en général en invoquant la "loi des grands nombres") ; et symétriquement pour les N° ayant une fréquence observée supérieure aux prévisions.
On trouvait d'ailleurs, parfois dans le même journal, un raisonnement (légèrement plus légitime, mais ne tenant pas compte des protocoles de FDJ) donnant le résultat inverse : si un N° sort plus que les autres, c'est que sa probabilité de sortie est supérieure au simple calcul, et donc qu'il continuera à sortir plus souvent que les autres (et symétriquement).
(Je me servais de ce genre de journaux pour mes cours de probabilité au lycée)

[invite43ba9278]

OK ce je suis entièrement d'accord avec vous mais alors comment expliquez-vous le système de la "martingale" qui consiste au jeu de la roulette de miser sur une couleur (noir) qui à 1/2 de tomber (noir ou rouge) si la couleur tombe gagne le double de ma mise si la couleur ne tombe pas alors il faut doubler la mise sur cette meme couleur, si bien que lorsque la couleur tombe le gain est supérieur à l'ensemble des pertes (mises précédentes).
biensur ce système n'est pas valable car les casinos ont mis en place des plafonds de mises si bien qu'a un moment donnée on ne peut plus doubler la mise....
la probabilité pour que le rouge tombe au premier coup est bien de 1/2...
mais la probabilité que le rouge tombe au deuxième coup sachant qu'il n'est pas tombé au premier est alors de 3/4 en effet si je considère Pn comme étant la probabilité pour que le noir tombe deux fois d'affilé alors la probabilité pour que le rouge tombe au deuxième sachant qu'il n'est pas tombé au premier devient (1-Pn) = 1- ((1/2)^2)...

[invité576543]

OK ce je suis entièrement d'accord avec vous mais alors comment expliquez-vous le système de la "martingale" qui consiste au jeu de la roulette de miser sur une couleur (noir) qui à 1/2 de tomber (noir ou rouge) si la couleur tombe gagne le double de ma mise si la couleur ne tombe pas alors il faut doubler la mise sur cette meme couleur, si bien que lorsque la couleur tombe le gain est supérieur à l'ensemble des pertes (mises précédentes).

C'est un problème bien connu, dont l'analyse montre que c'est un des nombreux paradoxes de l'usage de l'infini.

Il y a pas mal de cas où les raisonnements probabilistes "intuitifs" donnent des résultats choquants quand l'infini est introduit. Remarquons que cela n'a rien de spécifique aux probas!

bien sur ce système n'est pas valable car les casinos ont mis en place des plafonds de mises si bien qu'a un moment donnée on ne peut plus doubler la mise....

Il n'est pas valable parce que l'infini n'est pas réaliste. Le plafond de mise n'est qu'une "méthode" pour virer l'infini dans le modèle. (Les casinos font cela surtout parce que l'un des "infinis" est en pratique leur faillite, i.e., la disparition pour raison externe de la possibilité même de continuer le jeu , autre moyen pour la réalité de se faire sentir...).

Cordialement,

[invité576543]

mais la probabilité que le rouge tombe au deuxième coup sachant qu'il n'est pas tombé au premier est alors de 3/4 en effet si je considère Pn comme étant la probabilité pour que le noir tombe deux fois d'affilé alors la probabilité pour que le rouge tombe au deuxième sachant qu'il n'est pas tombé au premier devient (1-Pn) = 1- ((1/2)^2)...

Je ne pense pas que ce modèle soit correct (euphémisme).

Le paradoxe de la martingale de St Petersbourg se traite différemment. Ce n'est pas la proba de tirer rouge qui change (et diverge), mais le gain.

Cordialement,

[invite61601559]

On mise 2 fois de suite N ( noir ) ou R ( rouge )....à la roulette

les cas possibles de résultats sont
(N,N) ; (N;R) ; (R,N) ; (R;R) il y en a 4 ( ou dessiner l'arbre correspondant
La proba que le deuxième résultat soit R sachant rien du tout avant est de : Nbe de cas fav/nbre de cas possibles= 2/4=1/2
Si à présent je sais que la première fois il y avait N ( et donc pas R )
on change l'univers des possibles qui est maintenant constitué de
(N;N), (N;R) et la encore la proba d'avoir du rouge est de 2/4=1/2
on peut raisonner avec n tours de roulette
LES JETS DE LA BOULE A LA ROULETTE SONT DES EVENEMENTS INDEPENDANTS LES UNS DES AUTRES

Si vous jetez 10 fois de suite la boule et qu'il y a eu 9 fois le noir , la proba d'obtenir le rouge est de....1./2 ou il sort ou il ne sort pas .
Imaginez un peu quelqu'un qui arrive à la table et voit....9 Noir !!
Il mise le rouge et bien il aura 1chance sur 2 que R sort !!!( avec une proba qui serait supérieure d'après certains , E(X) l'espérance mathématique de gain serait positive pour le joueur et le casino ferait faillite !!! )
Dans votre cas avec les 3 boules....Dessinez donc l'arbre de toutes les possibilités qui sont de 27 , 27 façons différents de tirer 3 boules prenez les branches correspondant à ce que vous voulez à savoir les deux premières boules non rouges et la troisième rouge vous verrez qu'il y a exactement4 branches favorables à votre événement donc P=4/27
ces cas fav sont (J,J,R);(J,B,R);(B,J,R);(B,B,R ) voici les cas où je sais que les deux premières boules ne sont pas R

[invite61601559]

A présent.....Comme les tirages sont indépendants les uns des autres
le principe est le même A CHAQUE TIRAGE la proba que la rouge sorte est de 1/3 le fait que les deux premiers tirages aient donné J ou B n'a aucune incidence sur l'issue du troisième tirage il y a 1chance sur 3 que la rouge sorte.( car on a remis chaque fois la boule tirée )
Autre preuve VOUS SAVEZ que les deux premiers tirages ne sont pas R donc J ou B dessinez l'arbre avec au départ 2 branches Bou J au bout de ces branches DEUX possibilités à nouveau B ou J et au bout de ces nouvelle branches .....TROIS possibilités N , B , ou R et là vous verrez que la proba est de 4/12=1/3 comme annoncé ci-dessus .
Vous allez me dire pourquoi alors 4/27 avant !!!! Simplement que dans ce cas JE NE SAIS RIEN DE MES TIRAGES au départ et tous les cas sont envisagés dans cette situation

[invite43ba9278]

vous avez tous les deux raisons, merci pour vos réponse, je ne voyais pas le problème sous cet angle, tout les évenements sont indépendant...a chaque tirage la probabilité est identique....la seul probabilité qui varie et que l'on peut calculer est la probabilité pour que la meme couleur tombe plusieur fois d'affilé...
et concernant la martingale ce n'est effectivement pas la probabilité de tirage d'une couleur qui évolue mais bien la gain dont l'augmentation est proportionnel a la mise...
merci de m'avoir remis les pieds sur tette , il est donc encore loin le jour ou quelqu'un inventera un système fiable à la roulette si tenté de croire qu'il existe...bonne journée a vous tous ...
bien cordialement...

[invite61601559]

Etant déjà allé une dizaine de fois à Las Vegas ( pas pour jouer mais pour repartir au volant d'une voiture dans les états voisins) je peux dire que j'ai vu des gens perdre très vite leurs jetons sur les tables de roulette .La seule méthode qui aurait pu marcher c'est le doublement de la mise sur la même couleur .
MAIS à un moment donné arrive la série NNNNNN..... et faisant cela très vite vous êtes limité par le " maximum bet ", pas le droit de miser plus d'une certaine somme sur R ou N ...
Ils savent ce qu'ils font sinon le casino ferme !!! C'est logique , ce sont les millions de joueurs qui paient.
Etant donné qu'ils continuent à construire des casinos....Je vous laisse conclure .
NB Peu importe votre façon de placer vos jetons ;, l'espérance mathématique de gain sera toujours favorable pour le casino , qu'on se le dise .

[invité576543]

Etant donné qu'ils continuent à construire des casinos....Je vous laisse conclure .
NB Peu importe votre façon de placer vos jetons ;, l'espérance mathématique de gain sera toujours favorable pour le casino , qu'on se le dise .

Ils le savent. La conclusion est que la motivation des gens à jouer au casino n'est pas mesurée par l'espérance de gain.

Comme ils cherchent autre chose, rien ne dit qu'ils n'en ont pas pour leur argent...

Cordialement,

[invite61601559]

C'est une façon de voir les choses...
Je me gausse quand je vois que des personnes " s'amusent " quand elles perdent de l'argent . C'est là que l'ombre d'un début de soupçon se profile à l'horizon de mes doutes et je m'interroge Effectivement ces gens paient pour avoir des sensations.