Exo math nombre complexe

[invite87a28673]

bonjour à tous j'ai 2 petit exos mais j'aimerais un petit coup de main:

determinez les complexes tels que z² etz^6 soit conjuguer.

et

demontrez que pour tous complexes z:
|1+z|>=1/2 ou bien |1+z²|>1

voila merci d'avance
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[invite61601559]

soient conjugués svp

[sebsheep]

pour le 1er : tu veux que z² et z^6 soient conjugués. Autrement dit : (utiliser l'écriture exponentielle peut peut-être aider).

Pour le deuxième, on te demande de montre que :
soit |1+z|>=1/2
soit |1+z²|>1

Donc si la première proposition est fausse, la deuxième est vraie. Concrètement, pour résoudre l'éxo, tu pars de la négation de la première (ou de la seconde, ça revient évidemment au même), pour arriver à la seconde.

Bon courage

[invite87a28673]

bonjour

donc pour la forme exponentielle on a pas encore fait mais je pense qu'il faut faire apparaitre un trinome en posant Z=.... mais je n'ais pas encore trouver.

pour l'autre je trouve que la premiere proposition est vraie pour tout point en dehors du disque de centre (-1,0) et re rayon 1/2 mais je n'arrive pas a retomber sur l'autre proposition ou demontrer que tout point du disque marche pour la seconde proposition

merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[sebsheep]

Pour la première, c'est ça, un petit changement de variable ... le seul que t'es vu est Z=z², ne cherche pas d'originalité Ca te donne un équation à priori d'ordre 3, mais qui se factorise très bien.

Pour le deuxième, j'ai une solution très géométrique, je ne sais pas si ce qui est attendu, mais je trouve ça assez siouks : tu l'as dit, si z ne vérifie pas la 1ère équation, z "est dans le cercle" (pour être précis, il s'agit du point dont l'affixe est z, bref).

Que dire alors de son argument ? (pas la peine d'être super précis sur l'encadrement, mais [pi/2;3pi/2] est un peu trop large).
Que dire alors de l'argument de z² ?

(fais un dessin !)

Je te laisse conclure quant au module de |1+z²| (il reste 2-3 bricoles à dire).

Bonne chance!

[invite87a28673]

je vous embete encore un peu pour le premier exo je n'arrive absolument pas a le resoudre j'ai bien essayer de poser Z=... mais j'ai toujour des /Z avec des Z

[sebsheep]

Je te l'ai donné le changement de variable, c'est Z=z². Après tu poses Z=X+iY et tu fais les calculs.

Edit : je viens de m'apercevoir qu'on peut faire autrement (même si la méthode ci-dessus marche) ; 2 nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs modules sont égaux et leurs arguments égaux à 2pi près. Et en plus, tu sais arg(z^n) = n.arg(z), et que |z^n| = |z|^n.

C'est beaucoup plus simple !

[invite87a28673]

hehe je suis chiant ou ma prof pck argument(z^n) on a pas fait donc il doit y une autre solution.

pour ce qui est du changement de variable je vois pas trop comment tu fait pour enlever les /z
j'ai z²-/z^6=0 et j'arrive pas à avoir seulement des Z ou des /Z

[sebsheep]

arg(z^n) ptet pas, mais arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) je pense que si. Et ca revient au même ; et avec ça, la solution apparaît en 3 lignes. Après, oui, il y a une autre solution, c'est de faire le calcul ...

On pose Z=z², et Z=X+iY (ce que je t'avais dit de faire dans le post précédent). L'équation devient :

Tu développes (X+iY)^3 (si tu sais plus -> cours de seconde), tu sépares partie réélle et imaginaire, ca te donne deux équations en X et Y, que tu peux résoudre.

Ce qui te donne des conditions sur X et Y. Maintenant, tu as Z=z²=(x+iy)², donc encore une autre équation... Bref, c'est lourd, à toi de jouer.