Dérivation

[invite17d84b62]

Salut à tous,

Voilà, j'ai commencé il y a quelques jours le chapitre sur la Dérivation en cours, et je voudrais savoir concrètement quelle formule ou procédé doit être utilisé pour calculer la dérivée d'une fonction. Et est-ce que le terme "Dérivée d'une fonction" est-il identique au terme "Nombre dérivé d'une fonction".

Merci.
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[invite64e915d8]

La dérivée d'une fonction f est une fonction f' de x qui donne le coefficient directeur d'une droite tangente à f en x.

Soit le point que tu veux étudier et supposons que f soit dérivable en .

Donc (h doit tendre vers 0 bien sur). est le nombre dérivé de f en .

Concrètement, on étudie de combien varie la fonction en ordonnée, que l'on divise par la variation en abscisse.

On définit une fonction f' qui associe à tout x un nombre dérivé de f (toujours en supposant que f soit dérivable en x).
f' est la fonction dérivée de f.

Exemple:



(J'ai simplement développé le numérateur).


Et lorsque h tend vers 0 :


Donc la fonction f'(x) = 2x est la fonction dérivée de f(x) = x².
Si tu veux - par exemple - avoir le nombre dérivé de f en 3, alors f'(1)=2*3=6

6 est le coefficient directeur de la droite T tangente à la courbe de x² et aura pour équation T(x)=6x+A (A étant un réel à fixer)

[invite17d84b62]

J'ai une nouvelle question, bon depuis j'ai bien capté les notions de nombres dérivées, de dérivées etc... je maitrise les tengentes d'équations y:T=f'(a)(x-a)+f(a) bon mais malgré que je suis persuadé que c'est hyper simple j'ai rien compris aux approximations affines...

Si quelqu'un pourrait m'expliquait ça serait sympa ...

[ansset]

J'ai une nouvelle question, bon depuis j'ai bien capté les notions de nombres dérivées, de dérivées etc... je maitrise les tengentes d'équations y:T=f'(a)(x-a)+f(a) bon mais malgré que je suis persuadé que c'est hyper simple j'ai rien compris aux approximations affines...

Si quelqu'un pourrait m'expliquait ça serait sympa ...

ben , c'est une question de vocabulaire parceque c'est la même chose.
une tangente à une courbe en un point (x°,y°) est bien la meilleure approximation affine de la courbe en ce point.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite17d84b62]

Ah c'est bien ce que je me disais, mais pourtant les deux dénominations existent dans un même chapitre, il semble il y avoir une différence que je n'ai pas remarqué...

[invite3a7fe833]

Je vais paraphraser ce que d'autres ont répondu.
La dérivée dans le fond c'est de trouve une équation qui permet de trouver la pente tangente d'une fonction quelconque ou si tu préfères le taux de variation instantanée.
On peut trouver la dérive en utilisant la définition, c'est a dire, la limite lorsque delta x tends vers 0 de (f(a+delta x) - f(a) )/delta x. D'où a est une constante.
C'est ce que texanito a indirectement montrer.

De plus, il existe des techniques qui permettent de trouver l'équation de la dérivée de plusieurs fonctions. Je ne crois pas qu'une personne va user de son temps lorsqu'il est possible de les résoudre en un rien de temps.
Bref, il existe des trucs pour dérive les fonctions polynomiales, logarithmiques, exponentielles, par produits, par quotients, sinusoïdale, etc.

Dans le cas d'une fonction a polynôme sous forme axⁿ la fonction dérivée est de la forme anx^n-1 .
a et n sont un nombre réels et x est la variable.

[invite3a7fe833]

Suite a mon message que je desire editer et que je ne peux pas

Donc voici deux exemples pour mettre au claire.

ex: f(x)=3x⁴
f^'(x)=(3)(4)x^4-1
f^'(x)=12x³

ex:q(x)=3/x⁷
ce qui revient a dire que q(x)=3x^-7
donc q^'(x)=3(-7)x^-7-1
q^'(x)=-21x^-8

[ansset]

Ah c'est bien ce que je me disais, mais pourtant les deux dénominations existent dans un même chapitre, il semble il y avoir une différence que je n'ai pas remarqué...

il est possible qu'il y ait une subtilité de language , incluant les asymptotes obliques ou horizontales.
par exemple :
f(x)=x+1+1/x tend vers g(x)=x+1 en +/- l' inf.
en ce sens x+1 est une approximation affine de f(x) en l'infini, mais n'est pas une tangente à la courbe en un point donné.

c'est peut être le sens des termes employés dans ton cours.

ce qui revient à dire qu'une tangente en un point est bien une approximation affine , mais qu'il existe d'autres approximations affines.
a vérifier par les petits camarades pour la terminologie.

[invite00970985]

Ah c'est bien ce que je me disais, mais pourtant les deux dénominations existent dans un même chapitre, il semble il y avoir une différence que je n'ai pas remarqué...

Oui il y a 2 dénominations car en fait tu parles de 2 objets bien différents : l'équation de la tangente décrit un objet géométrique, l'approximation affine te donne des approximations des valeurs de ta fonction.

En d'autres termes : l'approximation affine consiste à approcher ta fonction (compliquée) par une fonction affine, pas de géométrie dans tout ça ; l'équation de la tangente te permet d'approximer une courbe (compliquée) du plan par une droite : pas de fonctions dans tout ça !

Ton trouble résulte de la confusion (hélas !) classique entre une fonction (qui est un objet mathématique abstrait) et la courbe représentative d'une fonction (qui est un objet géométrique).