Dérivation

[invitef6971f95]

bonjour!
j'ai un TD à faire et voila ce sue j'ai trouvé:
l'enoncé: f(x)=x-x³/6. f est défini sur [0;pi].
cette fonction est representé par la courbeg et g la fonction sinus est représenté par la courbe C sur [0;pi]

1 démontrer que les courbes g et c admettent au point une meme tangente T.Donner une equation de T.
2 1 u(x)=sin(x)-x (meme domaine de def que les fonction précedente)
étudier les variations de u. en déduire son signe
v(x)=sin(x)-x+/6
a determiner les fonctions v' et v''.
b quel est le signe de v''(x)? en déduire le sens de variation de v'.
c déterminer le signe de v'(x) puis le sens de variation de v. donner alors le signe de v(x).
3a démontrer que pour tout x de [0;pi], sin(x) est compris entre x-x³/6 et x.
b quels sont les positions relative de G, C et T ?

voici mes réponse :
1 y=f'(x)x-x)+f(a) donc j'ai pris comme valeur de a 0 pour les 2 fonctions et j'ai trouvé que f'(0)=g'(0) et f(0)=g(0)
j'en ai donc déduit qu'elles avaient les memes tangente en 0 donc en o.
2a u'(x)=cos(x)-1 donc cette fonction est positif sur [0;pi/2 (mais je viens de me rendre comte que ca peut pas etre pi/2 et de l'autre coté il est négatif donc la fonction est croisant du 1er cote et décroissante sur l'autre
je ne sais pas comment trouver son signe
2a v'(x)=-cosx-1+1/2x² et v''(x)=-sinx+x
j'ai rouver que v''était positif et que donc v' etait croissante sur [0;pi]
c v' est alors positif puisque elle strictement croissante à partir de 0.
3a à partir de la je suis coincé .
merci d'avance
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[invite7d436771]

Bonsoir,

J'avais répondu en détail mais mon message n'est pas passé donc je vais faire bref ...

L'équation de la tangente en un point d'abscisse est . Si on te demande de montrer que les courbes présentent la même tangente au point d'abcisse 0 ton raisonnement convient.

Pour le signe de u vérifie le signe de ta dérivée : cos est toujours compris entre -1 et 1 donc le signe de ta dérivée est toujours le même. Donc ta fonction u est monotone, en regardant les valeurs aux bornes tu trouves son signe.

Pour le signe de v'' comment as-tu pu faire si tu n'as pas le signe de u ? Une fois que tu as le signe de v'' tu en déduis le sens de variation de v' puis le signe de v' puis le sens de variation de v puis le signe de v par le même raisonnement.

Ensuite tu récapitules ce que tu as écris sur les signes de u et de v et tu trouves naturellement l'encadrement demandé à la question 3a. Pour la 3b aide toi d'un dessin : tu prends un point d'abscisse x, tu classes les ordonnées sur les différentes courbes grâce à ce que tu as écris juste avant et tu en déduis les positions relatives.

Cordialement,

Nox