Suite, convergence

[invitea79cf75f]

Bonjour,

Je dois montrer qu'une suite (u_n) est croissante et majorée par 4. Ensuite je dois déduire que la suite est convergente et calculer sa limite. Je n'ai jamais fait ça auparavant et donc je ne sais pas comment m'y prendre.

=> Soit (u_n) la suite définie par u₀=0 et u_n+1 = √(2+3u_n).

Dans un premier temps, je dois représenter la courbe de f(x)=√(2+3x) et y=x pour représenter u₀, u₁, u₂, u₃. Je l'ai tracé et on voit bien que la suite est croissante. Mais je ne sais pas quelle est la nature de la suite.
Et dans un second temps, je dois montrer la majoration et la convergence. Pour moi, la suite serait majorée par 2 et non par 4. En plus sur le graphique, on voit que l'intersection entre la droite et la courbe se fait avant x=2.

Pourriez vous m'aider svp ??
merci d'avance
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[Flyingsquirrel]

Salut et bienvenue,

Et dans un second temps, je dois montrer la majoration et la convergence. Pour moi, la suite serait majorée par 2 et non par 4. En plus sur le graphique, on voit que l'intersection entre la droite et la courbe se fait avant x=2.

La suite n'est pas majorée par 2 car .

Pour montrer qu'elle est majorée par 4 tu peux faire une démonstration par récurrence.

[invitea79cf75f]

Donc il faut que je fasse les 4 étapes de la récurrence, mais je n'ai pas u_n. J'ai u_n+1. je ne vois pas comment faire.

Ou je dois faire comme ça : 3u_n> 0
3u_n+2 > 2
√(3u_n+2) > √2

[Flyingsquirrel]

La propriété à prouver est, au rang , « ».

On commence par l'initialisation : il faut montrer que (facile).

Ensuite l'hérédité : on suppose qu'il existe un entier tel que et l'on doit montrer que la propriété est vraie au rang suivant, c'est-à-dire que (il faut se servir de la relation entre et : ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea79cf75f]

J’ai refait l’exercice avec tous vos conseils. Pourriez-vous me dire si c’est juste svp ?
Montrer que (Un) est croissante :
Soit P(n) la phrase « u _n+1≥ u_n »
Initialisation : Pour n=0
u₀₊₁= √(2+3u₀)
u₁ = √2
Donc u₁≥u₀ et P(0) est vraie

Hérédité :
On suppose que pour tout n℮ N, P(n) est vraie.
But : Montrer que P(n+1) est vraie.
u_n+2 ≥ u_n+1
√(2+3u_n+1) ≥ √(2+3u_n )

On sait que P(n) est vraie.
u_n+1 ≥ u_n
3u_n+1 ≥ 3u_n
2+3u_n+1 ≥ 2+3u_n
√2+3u_n+1 ≥ √2+3u_n
u_n+2 ≥ u_n+1
Donc P(n+1) est vraie

Conclusion : Pour tout n℮N, P(n) est vraie
u_n+1 ≥ u_n
(u_n) est croissante.

Montrer que (u_n) est majorée par 4 :
P(n) = "u_n ≤ 4 "

Initialisation :
u₀=0 ≤ 4
P(0) est vraie.

Hérédité :
On suppose que pour tout n℮N, P(n) est vraie.
u_n ≤ 4
But : P(n+1) est vraie.
u_n+1 ≤ 4
√2+3u_n≤ 4

On sait que u_n ≤ 4
3u_n ≤12
2+3u_n ≤14
√(2+3u_n) ≤ √14 ≤ 4
u_n+1 ≤4
P(n+1) est vraie.

Conclusion : Pour tout n℮N, u_n≤4
(u_n) est majorée par 4.

Il ne me reste plus qu'à vous donner la limite !

[Flyingsquirrel]

Hérédité :
On suppose que pour tout n℮ N, P(n) est vraie.

Non. On veut montrer que si est vraie alors l'est aussi donc on suppose que pour un entier est vraie.

À part cette petite erreur ta réponse est correcte.

Il ne me reste plus qu'à vous donner la limite !

Oui. Tu vois comment la calculer ?

[invitea79cf75f]

oui je pense savoir. Voilà ce que j'ai fait : Je pose k = lim┬(n→+∞)u_n De plus f(x)= √(2+3x) est continue sur [-2/3 ;+∞[. on a u₀≤u_n car (u_n) est croissante. 0≤u_n 0≤ k Soit k ℮ [-2/3 ;+∞[ donc f est continue en k. alors k vérifie f(k) = k d'où √(2+3k)=k 2+3k = k² k²-3k-2=0 ∆ = 17 k₁ = (3-√17)/2 k₂ = (3+√17)/2 On a u₀ ≤ u₁ ≤ u_n pour n≤1 car (u_n) est croissante. u₁= √2 Soit √2 ≤ u_n donc √2 ≤ k et donc k>0 Ainsi on a nécessairement k = (3+√17)/2 lim┬(n→+∞)u_n = (3+√17)/2 Est-ce correct ?

[invitea79cf75f]

Ohh ce n'est pas très claire tout ça !

oui je pense savoir. Voilà ce que j'ai fait :

Je pose k = lim┬(n→+∞)un
De plus f(x)= √(2+3x) est continue sur [-2/3 ;+∞[.
on a u₀≤un car (u[IND][n/IND]) est croissante.
0≤u_n
0≤ k

Soit k ℮ [-2/3 ;+∞[ donc f est continue en k.
alors k vérifie f(k) = k
d'où √(2+3k)=k
2+3k = k²
k²-3k-2=0

∆ = 17
k₁ = (3-√17)/2
k₂ = (3+√17)/2

On a u₀ ≤ u₁≤ u_n pour n≤1 car (u_n) est croissante.
u₁= √2
Soit √2 ≤ u_n
donc √2 ≤ k et donc k>0

Ainsi on a nécessairement
k = (3+√17)/2
lim┬(n→+∞)u_n = (3+√17)/2

Est-ce correct ?

[Flyingsquirrel]

Est-ce correct ?

Oui, c'est correct, mais ce n'est pas la peine de montrer deux fois de suite que .

[invitea79cf75f]

Oui c'est vrai !

Merci beaucoup pour le temps que vous m'avez consacré !! et pour l'aide précieuse surtout =D