Exercice sur les complexes

inviteccab6c05 · 03/01/2010, 13h58

Tout d'abord, je souhaite à tous une bonne et heureuse année 2010.

J'ai un exercice de maths à faire mais malgré de multiples tentatives je ne parviens pas à trouver la solution.

Voici l'énoncé :
S= 1 + cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) et S'= sin x + sin 2x + ... +sin n x
Montrez que S +i S'= [1-e^((n+1)xi)] / [1-e^(xi)]

Quand j'utilise la formule d'Euler, j'obtiens :
S= [e^(i0)+e^(-i0)]/2 + [e^(ix)+e^(-ix)]/2 + ... + [e^(ixn)+e^(-ixn)]/2
S'=[e^(i0)-e^(-i0)]/2 + [e^(ix)-e^(-ix)]/2 + ... + [e^(ixn)-e^(-ixn)]/2

Ensuite je pense qu'il faut utiliser la formule d'une somme pour les suites mais s'agit- il d'une suite algébrique ou géométrique ? quelle est la raison ?

Merci pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

**Flyingsquirrel** · 03/01/2010, 14h12

Salut,

Envoyé par Sacrecrow

Quand j'utilise la formule d'Euler, j'obtiens :
S= [e^(i0)+e^(-i0)]/2 + [e^(ix)+e^(-ix)]/2 + ... + [e^(ixn)+e^(-ixn)]/2
S'=[e^(i0)-e^(-i0)]/2 + [e^(ix)-e^(-ix)]/2 + ... + [e^(ixn)-e^(-ixn)]/2

Dans $\text{[math]}$ il manque $\text{[math]}$ à tous les dénominateurs.

Envoyé par Sacrecrow

Ensuite je pense qu'il faut utiliser la formule d'une somme pour les suites mais s'agit- il d'une suite algébrique ou géométrique ?

Calcule donc $\text{[math]}$ pour le savoir...

inviteccab6c05 · 03/01/2010, 15h11

Bonjour,

Merci de m'avoir répondu.

Dans S' il manque i à tous les dénominateurs. J'ai calculé S' et non pas iS' donc c'est normal qu'il n'y ait pas de i aux numérateurs.

Je ne trouve pas du tout. Auriez vous d'autres indications s'il vous plait ?

Lorsque je calcule S + i S', je ne vois pas apparaitre de suite. :/

**Flyingsquirrel** · 03/01/2010, 15h18

Envoyé par Sacrecrow

Dans S' il manque i à tous les dénominateurs. J'ai calculé S' et non pas iS' donc c'est normal qu'il n'y ait pas de i aux numérateurs.

Non. $\text{[math]}$ , tu as oublié le $\text{[math]}$ au dénominateur. (ou alors tu as calculé $\text{[math]}$ ?)

Envoyé par Sacrecrow

Lorsque je calcule S + i S', je ne vois pas apparaitre de suite. :/

Montre-moi ce que tu trouve. Normalement les termes $\text{[math]}$ doivent se simplifier.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteccab6c05 · 03/01/2010, 16h24

Excusez mon erreur, nous n'avons pas vu cette formule: $\sin(kx) = \frac{exp{ikx}-exp{-ikx}}{2i}$

La formule que nous utilisons est : cos (x) = [e^(ix)+e^(-ix)] / 2 et
sin (x) = [e^(ix) -e^(-ix)] / 2

Grâce à ceci, je peux dire que :

S= [e^(i0)+e^(-i0)]/2 + [e^(ix)+e^(-ix)]/2 + ... + [e^(ixn)+e^(-ixn)]/2
S'=[e^(i0)-e^(-i0)]/2 + [e^(ix)-e^(-ix)]/2 + ... + [e^(ixn)-e^(-ixn)]/2

Si je calcule iS', et que je additionne S +iS', je n'arrive pas à simplifier :

S+iS'= [e^(i0)+e^(-i0)]/2 + [e^(ix)+e^(-ix)]/2 + ... + [e^(ixn)+e^(-ixn)]/2 +i [[e^(i0)-e^(-i0)]/2 + [e^(ix)-e^(-ix)]/2 + ... + [e^(ixn)-e^(-ixn)]/2]

Je dois faire erreur quelque part, à partir de quand peut on parler de suite ? quand intervient le calcul de la somme d'une suite ?

Merci d'avance

**Flyingsquirrel** · 03/01/2010, 16h38

Envoyé par Sacrecrow

La formule que nous utilisons est : cos (x) = [e^(ix)+e^(-ix)] / 2 et
sin (x) = [e^(ix) -e^(-ix)] / 2

La seconde formule est fausse, tu devrais avoir $\text{[math]}$ .

inviteccab6c05 · 03/01/2010, 17h22

Encore une fois, je vous prie d'accepter mes excuses, j'ai fait une erreur en recopiant ma formule dans mon cours ...

J'obtiens donc :

S+iS'= e^(i0)+e(ix)+...+e^(inx)

C'est une suite géometrique de raison e^(ix)

En appliquant la formule de la somme d'une suite géométrique, j'ai :

S+iS'= [1-e^(ix(n+1))]/ (1-e^(ix))

Merci mille fois pour votre aide. Ça fait plusieurs jours que je cherche à cause d'une faute de recopiage dans mon cours

**Flyingsquirrel** · 03/01/2010, 17h31

Envoyé par Sacrecrow

Encore une fois, je vous prie d'accepter mes excuses, j'ai fait une erreur en recopiant ma formule dans mon cours ...

Pas de problème, ça arrive à tout le monde.

Exercice sur les complexes