Exercice sur les complexes

[Thorin]

Salut.

Voici un petit exercice sur les complexes :



Je vois pour cet exercice au moins 3 différentes manières d'arriver au résultat.

Proposez les vôtres, je suis preneur d'un maximum de démonstrations différentes.

(pour le niveau de l'exo : TS-L1, mais j'ai vu qu'il y a ici beaucoup de gens ayant un niveau manifestement plus élevé que leur page ne le laisserait penser...)

Avec déférence,
Thorin.
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[GalaxieA440]

Plop

faut-il montrer une équivalence ou une implication simple dans ce cas ?

[Thorin]

Au vu de la tournure de l'énoncé, il est clair qu'il faut montrer une implication.

[Jeanpaul]

Si on appelle AB le vecteur représentatif de a, BC celui de b, CD celui de c, on voit que ABCD est un losange de côté 1. Donc si AD vaut 1 c'est que le côté en face vaut 1 aussi. On peut l'avoir appelé a, b ou c.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

Preuve incomplète : ABCD n'est pas forcément un quadrilatère convexe. Qu'advient-il s'il est croisé ?

Cependant, on aboutit quand même via cette preuve géométrique, mais c'est "un peu" plus long.

[invite263d7f23]

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Soient a,b,c complexes de module 1 dont la somme vaut 1,
On pose donc , et ( réels)
En remplacant a,b et c par ces expressions, on a donc:

<=>
Ensuite, on factorise et pour obtenir:

Enfin, par identification (j'en viens directement au résultat, parce que se retaper les fractions au-dessus des exponentielles, c'est lourd), on obtient:


On a donc (mod.2pi) , soit

Il me semble que c'est bon.

[Thorin]

L'esprit général de la méthode est juste, une de mes démonstrations repose sur celle-ci et aboutit.
Cependant :

Enfin, par identification

Est-ce que tu identifies directement, ou il y a des calculs avant ? car dans ta ligne juste avant l'identification, les parties réelles et imaginaires ne sont pas clairement séparées. (les e^i... sont des complexes)

[invite263d7f23]

Ah oui, c'est vrai, les e^i sont complexes ...
Enfin bon, c'est pas trop grave, on peut développer les e^i et avoir ainsi une VRAIE partie réelle et imaginaire...
Dans ce cas, mon identification est fausse. La vraie identification serait:

(après transformation)
(après transformation)
Après, je suppose qu'on transforme tout ça en produit, et qu'on trouve finalement le résultat.

[Romain-des-Bois]

Salut.

Voici un petit exercice sur les complexes :



Je vois pour cet exercice au moins 3 différentes manières d'arriver au résultat.

Allons y mais soyons élégant(s). Bon, j'ai pas trouvé moins calculatoire que ça (à part la méthode géométrique).

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alors

alors

Montrer que ou ou vaut 1 revient à montrer que
id est que

id est que

Or pour un nombre complexe de module 1,
Ici,

et c'est fini

Romain

[Thorin]

Magnifique ! je n'avais pas cette méthode, qui est d'une grande élégance.

[invite263d7f23]

Bon, je dis des bêtises, je reprends là où ça coince:

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On identifie les parties réelles et imaginaires, ce qui donne:

pfff... bon, je finirai plus tard

[Thorin]

Sinon, j'ai une autre méthode, que je trouve élégante aussi :

Comme tu viens de le montrer(romain),je reprends directement ce résultat quasi évident, on a :

D'où le résultat...

[Romain-des-Bois]

Magnifique ! je n'avais pas cette méthode, qui est d'une grande élégance.

Merci Je cherchais une méthode qui évite au plus les calculs... (Je suis pas trop fan des longs calculs fastidieux)

La tienne est pas mal non plus au fait

[Romain-des-Bois]

Je me permets ce petit intermède :

il existe une rubrique "Révision" (juste en dessous de "Orientation"). Etant membre du groupe Révision, je peux proposer des exercices dans cette rubrique. Il se trouve que niveau maths, elle est un peu au point mort C'est vrai que je n'ai pas trop le temps de préparer des exercices. Il me semble que les fils comme celui-ci auraient plus leur place dans la partie révision.

Si un membre souhaite qu'un exercice de son choix soit posté dans la rubrique révision, il n'a qu'à me l'envoyer par MP, et je le posterai.


Romain

[Thorin]

Et bien, tu peux poster cet exo, si tu penses qu'il a sa place là bas^^

[Romain-des-Bois]

Et bien, tu peux poster cet exo, si tu penses qu'il a sa place là bas^^

Alors je le poste, et je mettrai un lien vers cette discussion


Romain

[Jeanpaul]

Preuve incomplète : ABCD n'est pas forcément un quadrilatère convexe. Qu'advient-il s'il est croisé ?

Cependant, on aboutit quand même via cette preuve géométrique, mais c'est "un peu" plus long.

Un losange ne peut être croisé !

[Thorin]

Encore faut-il montrer qu'un quadrilatère croisé ne pourra pas avoir ses 4 côtés égaux...c'est pas une propriété qui fait partie du bagage "normal" des élèves, même si ce n'est pas très dur à montrer.

[invite263d7f23]

Bon, là, j'espère que c'est bon, j'ai abandonné les exponentielles pour faire ainsi:
Alors, a,b,c complexes de module 1, donc non-nuls(*), etc...

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(Ici, il faut imaginer la même ligne qu'au dessus mais avec tout en conjugué)
D'où car comme l'a dit romain, pour z de module 1, le conjugué de z est égual à 1/z.

(On passe les calculs), En exprimant par exemple b et c en fonction de a et c, et de a et b. On a le système (imaginez une grande accolade ^^):


Alors là, on injecte b dans c, soit:

Soit (on passe une ligne de calcul)
On obtient donc finalement (on passe quelques calculs):

On a donc b=1, ou a=1 ou c=1, en fonction du système qu'on fait. (pas très rigoureuse cette phrase de fin, oui...)



(*):Quelle est la différence entre "tous non-nuls" et "non tous nuls" ?

[Thorin]

(*):Quelle est la différence entre "tous non-nuls" et "non tous nuls" ?

La différence entre tous non nuls et non tous nuls est la même qu'entre "tous pas bons", et pas tous bons.


tous non nuls = aucun ne vaut 0
non tous nul = il y en a au moins un qui ne vaut pas 0