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Exercice sur les complexes



  1. #1
    Thorin

    Exercice sur les complexes

    Salut.

    Voici un petit exercice sur les complexes :



    Je vois pour cet exercice au moins 3 différentes manières d'arriver au résultat.

    Proposez les vôtres, je suis preneur d'un maximum de démonstrations différentes.

    (pour le niveau de l'exo : TS-L1, mais j'ai vu qu'il y a ici beaucoup de gens ayant un niveau manifestement plus élevé que leur page ne le laisserait penser...)

    Avec déférence,
    Thorin.

    -----


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  3. #2
    GalaxieA440

    Re : Exercice sur les complexes

    Plop

    faut-il montrer une équivalence ou une implication simple dans ce cas ?
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  4. #3
    Thorin

    Re : Exercice sur les complexes

    Au vu de la tournure de l'énoncé, il est clair qu'il faut montrer une implication.

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Exercice sur les complexes

    Si on appelle AB le vecteur représentatif de a, BC celui de b, CD celui de c, on voit que ABCD est un losange de côté 1. Donc si AD vaut 1 c'est que le côté en face vaut 1 aussi. On peut l'avoir appelé a, b ou c.

  6. #5
    Thorin

    Re : Exercice sur les complexes

    Preuve incomplète : ABCD n'est pas forcément un quadrilatère convexe. Qu'advient-il s'il est croisé ?

    Cependant, on aboutit quand même via cette preuve géométrique, mais c'est "un peu" plus long.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    sohot

    Re : Exercice sur les complexes

     Cliquez pour afficher

    Il me semble que c'est bon.

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  10. #7
    Thorin

    Re : Exercice sur les complexes

    L'esprit général de la méthode est juste, une de mes démonstrations repose sur celle-ci et aboutit.
    Cependant :
    Citation Envoyé par sohot Voir le message
    Enfin, par identification
    Est-ce que tu identifies directement, ou il y a des calculs avant ? car dans ta ligne juste avant l'identification, les parties réelles et imaginaires ne sont pas clairement séparées. (les e^i... sont des complexes)

  11. #8
    sohot

    Re : Exercice sur les complexes

    Ah oui, c'est vrai, les e^i sont complexes ...
    Enfin bon, c'est pas trop grave, on peut développer les e^i et avoir ainsi une VRAIE partie réelle et imaginaire...
    Dans ce cas, mon identification est fausse. La vraie identification serait:

    (après transformation)
    (après transformation)
    Après, je suppose qu'on transforme tout ça en produit, et qu'on trouve finalement le résultat.

  12. #9
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice sur les complexes

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Salut.

    Voici un petit exercice sur les complexes :



    Je vois pour cet exercice au moins 3 différentes manières d'arriver au résultat.
    Allons y mais soyons élégant(s). Bon, j'ai pas trouvé moins calculatoire que ça (à part la méthode géométrique).

     Cliquez pour afficher


    et c'est fini

    Romain

  13. #10
    Thorin

    Re : Exercice sur les complexes

    Magnifique ! je n'avais pas cette méthode, qui est d'une grande élégance.

  14. #11
    sohot

    Re : Exercice sur les complexes

    Bon, je dis des bêtises, je reprends là où ça coince:
     Cliquez pour afficher

    pfff... bon, je finirai plus tard

  15. #12
    Thorin

    Re : Exercice sur les complexes

    Sinon, j'ai une autre méthode, que je trouve élégante aussi :

    Comme tu viens de le montrer(romain),je reprends directement ce résultat quasi évident, on a :

    D'où le résultat...

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  17. #13
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice sur les complexes

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Magnifique ! je n'avais pas cette méthode, qui est d'une grande élégance.
    Merci Je cherchais une méthode qui évite au plus les calculs... (Je suis pas trop fan des longs calculs fastidieux)

    La tienne est pas mal non plus au fait

  18. #14
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice sur les complexes

    Je me permets ce petit intermède :

    il existe une rubrique "Révision" (juste en dessous de "Orientation"). Etant membre du groupe Révision, je peux proposer des exercices dans cette rubrique. Il se trouve que niveau maths, elle est un peu au point mort C'est vrai que je n'ai pas trop le temps de préparer des exercices. Il me semble que les fils comme celui-ci auraient plus leur place dans la partie révision.

    Si un membre souhaite qu'un exercice de son choix soit posté dans la rubrique révision, il n'a qu'à me l'envoyer par MP, et je le posterai.


    Romain

  19. #15
    Thorin

    Re : Exercice sur les complexes

    Et bien, tu peux poster cet exo, si tu penses qu'il a sa place là bas^^

  20. #16
    Romain-des-Bois

    Re : Exercice sur les complexes

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Et bien, tu peux poster cet exo, si tu penses qu'il a sa place là bas^^
    Alors je le poste, et je mettrai un lien vers cette discussion


    Romain

  21. #17
    Jeanpaul

    Re : Exercice sur les complexes

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Preuve incomplète : ABCD n'est pas forcément un quadrilatère convexe. Qu'advient-il s'il est croisé ?

    Cependant, on aboutit quand même via cette preuve géométrique, mais c'est "un peu" plus long.
    Un losange ne peut être croisé !

  22. #18
    Thorin

    Re : Exercice sur les complexes

    Encore faut-il montrer qu'un quadrilatère croisé ne pourra pas avoir ses 4 côtés égaux...c'est pas une propriété qui fait partie du bagage "normal" des élèves, même si ce n'est pas très dur à montrer.

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  24. #19
    sohot

    Re : Exercice sur les complexes

    Bon, là, j'espère que c'est bon, j'ai abandonné les exponentielles pour faire ainsi:
    Alors, a,b,c complexes de module 1, donc non-nuls(*), etc...
     Cliquez pour afficher

    On a donc b=1, ou a=1 ou c=1, en fonction du système qu'on fait. (pas très rigoureuse cette phrase de fin, oui...)



    (*):Quelle est la différence entre "tous non-nuls" et "non tous nuls" ?

  25. #20
    Thorin

    Re : Exercice sur les complexes

    Citation Envoyé par sohot Voir le message

    (*):Quelle est la différence entre "tous non-nuls" et "non tous nuls" ?
    La différence entre tous non nuls et non tous nuls est la même qu'entre "tous pas bons", et pas tous bons.


    tous non nuls = aucun ne vaut 0
    non tous nul = il y en a au moins un qui ne vaut pas 0

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