Questions sur les limites de suites - TS

[invitec676412a]

Bonsoir !

Je ne suis pas sure d'avoir une réponse ce soir, mais je poste au cas où, ça ne coûte rien
Voici 3 questions que je n'arrive pas à résoudre dans mon devoir maison, si jamais quelqu'un arrivait à m'éclairer un peu ce serait super !

Enoncé : On a u0 = 1 et u(n+1) = racine (4 un + 5)
J'ai montré avant que (un) est croissante et majorée par 5.

a) En utilisant la définition d'une suite convergente, montrer que si une suite (tn) converge vers L, alors la suite (vn) définie par Vn = t(n+1) converge aussi vers L.
b) Soit (wn) une suite définie par w(n+1) = f (wn) qui converge vers M. On suppose que f est continue en M. Montrer que M = f (M).
c) Montrer que (un) converge et déterminer sa limite.

a) J'avais pris 2 cas : (tn) est croissante et majorée donc t(n+1) > t(n) or V(n) = t(n+1) donc v(n+1) = t(n+2).
t(n+2) > t(n+1) donc v(n+1) > v(n) donc (Vn) est croissante.
t(n) < L, t(n+1) < L donc V(n) < L. (Vn) est donc majorée par L. J'avais pareil pour (tn) décroissante et minorée.
Le problème c'est que ça montre peut-être que (Vn) converge mais ça ne dit pas forcément vers L...

c) (un) est croissante et majorée donc elle converge. Pour trouver la limite, je n'y arrive pas et je pense que la racine n'arrange rien !

Merci beaucoup & bonne soirée
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[Flyingsquirrel]

Salut,

a) J'avais pris 2 cas : (tn) est croissante et majorée donc t(n+1) > t(n) or V(n) = t(n+1) donc v(n+1) = t(n+2).
t(n+2) > t(n+1) donc v(n+1) > v(n) donc (Vn) est croissante.
t(n) < L, t(n+1) < L donc V(n) < L. (Vn) est donc majorée par L. J'avais pareil pour (tn) décroissante et minorée.
Le problème c'est que ça montre peut-être que (Vn) converge mais ça ne dit pas forcément vers L...

Tout à fait. Et puis il faudrait aussi traiter le cas des suites qui convergent mais qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes.

Tu devrais plutôt suivre l'énoncé : on te dit d'utiliser la définition de la convergence...

c) (un) est croissante et majorée donc elle converge.

D'accord.

Pour trouver la limite, je n'y arrive pas et je pense que la racine n'arrange rien !

Sers-toi de la question b.

[invitec676412a]

Merci pour la réponse Le prof a laissé un délai jusqu'à mercredi pour le devoir donc j'ai cherché aujourd'hui et j'ai réussi la question c) à l'aide de la b) comme conseillé, merci. Pour la a) et la b) par contre, je ne suis pas convaincue par ce que j'ai fait...

a) Soit L app. à lR. Une suite (un) converge si, pour tt intervalle ]L-E ; L+E[, il existe N app. à lN tel que pour n > N un est compris dans ]L-E ; L+E[.
Puisque (tn) converge vers L, il existe n app. à lN tel que pour n > N, tn app. à ]L-E ; L+E[. t(n+1) est un terme de rang plus élevé que tn donc t(n+1) converge aussi vers L.
On a lim tn = lim t(n+1) = L.
Vn = t(n+1) (d'après l'énoncé) donc lim Vn = lim t(n+1) = L. Ceci est valable pour tt terme de Vn de rang n > N'.
( Cela revient à dire : L-E < tn < L+E ; L-E < t(n+1) < L+E et L-E < Vn < L+E ) C'est peut-être plus rapide.

b) On a W(n+1) = f(Wn) et lim (Wn) = M. f est continue en M. D'après c), lim W(n+1) = lim Wn = lim f(Wn). On a lim f(Wn) = M et lim f(Wn) = f(M) (je ne vois pas comment j'ai affirmé ça) donc M = f(M).

Bonne soirée !

[Flyingsquirrel]

Salut,

a) Soit L app. à lR. Une suite (un) converge si, pour tt intervalle ]L-E ; L+E[, il existe N app. à lN tel que pour n > N un est compris dans ]L-E ; L+E[.
Puisque (tn) converge vers L, il existe n app. à lN tel que pour n > N, tn app. à ]L-E ; L+E[. t(n+1) est un terme de rang plus élevé que tn donc t(n+1) converge aussi vers L.
On a lim tn = lim t(n+1) = L.
Vn = t(n+1) (d'après l'énoncé) donc lim Vn = lim t(n+1) = L. Ceci est valable pour tt terme de Vn de rang n > N'.

Après la définition de la convergence, je n'arrive plus tellement à comprendre ce que tu fais. Comment peux-tu dire que « t(n+1) est un terme de rang plus élevé que tn donc t(n+1) converge aussi vers L » alors que justement le but de la question est de montrer que et ont même limite ?

( Cela revient à dire : L-E < tn < L+E ; L-E < t(n+1) < L+E et L-E < Vn < L+E ) C'est peut-être plus rapide.

Oui et c'est beaucoup plus proche de la réponse attendue écrit ainsi. Il reste à le rédiger.

b) On a W(n+1) = f(Wn) et lim (Wn) = M. f est continue en M. D'après c), lim W(n+1) = lim Wn = lim f(Wn).

D'accord.

On a lim f(Wn) = M et lim f(Wn) = f(M) (je ne vois pas comment j'ai affirmé ça) donc M = f(M).

Peut-être t'es-tu servi de la continuité de en ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec676412a]

Ok, merci beaucoup, je vais fignoler tout ça !
Bonne soirée & encore merci