[ts]petits exos sur les limites de suites

[invite3eec6642]

J'ai 2 petits exos sur les suites qui me donnent du fil à retordre, puis-je demander votre aide ?

(je suis en tle S après une 1ere catastrophique, mais j'essaie de bosser suffisament pour me ramener à un niveau bac... ben comme je dis "J'gagne plus en travaillant qu'en foutant rien, quelque soit le résultat". Juste pour expliquer des questions dont les réponses peuvent vosu paraitre élémentaires)


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a réel>0, (Un) définie par U0=1 et Un+1=exp(a*Un), n €N.

1) montrer par récurrence que la suite est croissante.
fait sans trop de problème, démonstration grace aux fonctions associées croissantes sur R+.

2)On suppose a<1/e, montrer par récurrence que Un<e. Que dire alors de la suite (Un) ?
Alors l'initialisation est ok, mais après comme les fonctions associées sont une croissante, l'autre décroissante, je n'vois pas comment oter l'indétermination.
Pouvez-vous me guider ?
(petite question : la fonction associée à Un+1=exp(a*Un) est-elle bien f(x)=exp(a*f(x-1)) ?)

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La suite U est définie par Un+1=e^n-Un et par U0=1. Montrer que la suite diverge.
Je suis bloquée, je n'ai réellement aucune idée de la facon dont je dois procéder pour démontrer ca...
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[invitedbd456d8]

Bonjour,

Pour la 2), si tu pose bien ta récurence, çà viens pas trop difficilement.

Propriété au rang n (on veux monter qu'elle est variable pour tout n): Un<e

Initialisation: U0=1<e, donc la propriété est vérifiée pour n=0

Héridité:
On prend un n quelconque.
On suppose que Pn (propriété au rang n) vérifiée. On va essayer d'en déduire que ceci implique Pn+1 est vérifiée.

Pn => Un<e
De plus 0<a<1/e (par hypothèse)
D'où a*Un<1
Comme l'exp est strictement croissante:
Un+1=exp (a Un)<exp(1)=e
Donc Pn+1 vérifié

Conclusion: P0 est vérifié et Pn=>Pn+1, donc d'après le principe de récurence:
Pour tout n, Pn vérifié (cad Un<e)

[invitedbd456d8]

Ta suite est donc croissante est majorée. Dans ton cours tu dois avoir une propriété qui dit qu'elle converge alors.

Attention, la fonction associée à la suite n'est pas celle que tu crois, c'est f->exp(ax)
En gros la fonction associée est celle qui permet d'écrire U(n+1)=f(U(n))

[invite3eec6642]

Merci beaucoup, ton aide m'est précieuse !

Le 2 était en effet pas si compliqué, j'aurais pu le faire en réflechissant mieux (shame on me).

Je n'avais pas pensé que la seconde était majorée, je dois donc juste démontrer qu'elle l'est (se plonge dans ses bouquins)

[A voir en vidéo sur Futura]