Exercice suites

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !

J'aurais besoin d'aide pour résoudre un exercice sur les suites géométriques. Voici l'énoncé :

2/ Pour tout entier naturel non nul n, on pose V_n = p_n- 4/23

a. Démontrer que (V_n) est une suite géométrique de raison -3/20
b. Exprimer V_n puis p_n en fonction de n.
c. Justifier que la suite (p_n) est convergente et calculer sa limite.

Merci à tous pour votre aide ! =)
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Peux-tu nous dire qui est ?

[invitea97b4264]

2/a) Vn+1 = -3/20(Vn) => ON a démontré que (Vn) est une suite géométrique de raison -3/20.

2/b) On a prouvé que (Vn) est une suite géométrique de raison -3/20.
Vn+1 = -3/20Vn <=> V_n = V₁q^n-1

V₁= p₁ - 4/23
= -4/23 (jai oublié de preciser que dans l'énoncé p₁ = 0)

V_n= -3/20^n-1 * (-4/23) = 3/115^n-1

Je ne suis pas sure que mon raisonnement sois correct le résultat n'est pas très satisfaisant :S En revanche pour la suite de l'exo je ne vois pas comment faire surtout niveau convergence des suites!

[invitea97b4264]

Salut,

Peux-tu nous dire qui est ?

Oui j'ai oublié une partie de l'énoncé
p_n+1= -3/20p_n + 1/5
p₁= 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

2/a) Vn+1 = -3/20(Vn) => ON a démontré que (Vn) est une suite géométrique de raison -3/20.

D'accord (par contre sur la copie il faut donner le détail des calculs).

2/b) On a prouvé que (Vn) est une suite géométrique de raison -3/20.
Vn+1 = -3/20Vn <=> V_n = V₁q^n-1

V₁= p₁ - 4/23
= -4/23 (jai oublié de preciser que dans l'énoncé p₁ = 0)

V_n= -3/20^n-1 * (-4/23) = 3/115^n-1

On a effectivement mais rien ne t'autorise à écrire que cela vaut ! (le terme n'est pas élevé à la puissance )

En revanche pour la suite de l'exo je ne vois pas comment faire surtout niveau convergence des suites!

Il faut commencer par exprimer en fonction de .

[invitea97b4264]

Ok donc on trouve p_n= -3/20^n-1 * (-4/23) + 4/23 = -3/20^n-1

C'est correct ?

Ensuite pour prouver que (p_n) est une suite convergente, je ne vois pas trop comment faire !
D'après moi, il faudrait montrer par récurence le sens de variation de p_n et après utiliser les propriétés suivantes :
- Si une suite est croissante et majorée, alors cette suite converge
-Si une suite est decroissante et minorée, alors cette suite converge

C'est cela ?

[invitea97b4264]

Jai aussi pensé que l'on peut étudier les limites de la foncion f(x) correspondante à la fonction p_n telle que p_n= f(n). Ainsi lim f(x) = lim p_n = L et on peut prouver que la suite est convergente vers L. C'est peut etre mieux ?

[Flyingsquirrel]

Ok donc on trouve p_n= -3/20^n-1 * (-4/23) + 4/23 = -3/20^n-1

C'est correct ?

Non ! Tu ne peux pas simplifier les termes comme tu l'as fait. C'est exactement comme si tu disais 1*(-2) + 2 = 1 ! (en vrai : 1*(-2)+2=-2+2=0)

Par contre on peut mettre 4/23 en facteur :

Ensuite pour prouver que (p_n) est une suite convergente, je ne vois pas trop comment faire !
D'après moi, il faudrait montrer par récurence le sens de variation de p_n et après utiliser les propriétés suivantes :
- Si une suite est croissante et majorée, alors cette suite converge
-Si une suite est decroissante et minorée, alors cette suite converge

C'est cela ?

En théorie c'est correct. En pratique on ne peut pas utiliser ce raisonnement ici car n'est ni croissante, ni décroissante :

Si est pair, est impair donc est du signe de : négatif. Par conséquent est positif et est donc plus grand que .
Si est impair, est cette fois pair donc est positif et par conséquent est négatif, est donc plus petit que .
Ainsi est alternativement plus grand et plus petit que 4/23, donc la suite n'est ni croissante, ni décroissante.


Pour montrer que converge il suffit de calculer sa limite.

[Flyingsquirrel]

Jai aussi pensé que l'on peut étudier les limites de la foncion f(x) correspondante à la fonction p_n telle que p_n= f(n). Ainsi lim f(x) = lim p_n = L et on peut prouver que la suite est convergente vers L. C'est peut etre mieux ?

Oui, c'est mieux. Mais ce n'est pas la peine de faire intervenir une fonction auxiliaire car a une forme plutôt simple. Tu sais que . Que vaut ? Donc que vaut ?

[invitea97b4264]

Oui tu as raison donc
lim (-3/20)^n-1 quand n tend vers +00 = 0
lim (4/23) quand n tend vers +00 = 4/23
=> Donc lim p_n quand n tend vers +00 = 4/23

Et que peut-on en déduire ? Qu'une suite ayant une limite finie est convergente en cette limite ?

[Flyingsquirrel]

Oui tu as raison donc
lim (-3/20)^n-1 quand n tend vers +00 = 0
lim (4/23) quand n tend vers +00 = 4/23
=> Donc lim p_n quand n tend vers +00 = 4/23

Oui.

Et que peut-on en déduire ? Qu'une suite ayant une limite finie est convergente en cette limite ?

Une suite qui admet une limite finie converge vers cette limite, oui. Tu as donc répondu à la question n^o 2.c.

[invitea97b4264]

Merci beaucoup pour ton aide ! =D Bon après midi ! ^^