Fonction logarithme

[invite9207e68f]

Bonjour,

J'ai un ex sur l'étude d'une fonction logarithme mais je bloque !

"Soit la fonction f définie sur ]0;+infinie[ par : f(x) = 4 ln(x) - x

a) déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En déduire que la courbe représentative C de f admet une asymptote dont on précisera une équation.

b) Calculer f('x)"

Pour la a), je pense qu'il faut "transformer" la fonction sinon pour +infinie on obtient une forme indéterminée mais je sais pas trop comment la transformer j'ai pensé à :

f(x) = 4 * ln(x) - x
= 4 * x(1 - ln(x) / x)

Pour la b) je pense :

f(x) = 4 * ln(x) - x
f'(x) = (ln x + 4 * 1/x) - x
f'(x) = (ln x + 4/x) - 1

Si quelqu'un pourrait m'aider !

Merci
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[invitefac5d115]

Bonjour , pour la question 1 , ton idée est la bonne,mais factorise correctement!

Pour la question 2 , ce n'est pas bon.En effet , tu as une fonction du type af(x)-g(x) avec f(x)=ln(x) et g(x)=x et dont la dérivée est af'(x)-g'(x).A toi de faire le reste...

J'espère que ça t'aidera.

[invite9207e68f]

ok merci de ta réponse !

Donc pour continuer la a) :

f(x) = 4 * ln(x) - x
= 4 * x(1 - ln(x) / x)

lim f(x) = -infinie
x-> 0

lim (fx) = 0
x-> +infinie

?

Pour la b) :

f(x) = 4 * ln(x) - x
f'(x) = 4 * 1/x - 1
f'(x) = 4/x - 1

?

[invitefac5d115]

Pour la question 1, tu as les bonnes réponses mais tu as mal factorisé : on a f(x)=x(((4ln(x))/x)-1)...
Et pour la question 2,c'est bien ça.
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9207e68f]

D'accord merci !

Donc :

f(x) = 4 * ln(x) - x
= x((4ln(x) / x) - 1)

Mais avec cette fonction comment j'étudie mes limites ? Et comment je montre qu'il y a une asymptote

[invitefac5d115]

Eh bien , pour calculer la limite en 0 , tu utilises la fonction au départ et pour calculer la limite en +infini , tu utilises la forme factorisée.Tu trouveras facilement.
Ensuite pour trouver l'asymptote , utilises ton cours et le résultat de tes limites...

[invite9207e68f]

Et bien logiquement pour la limite en 0, lim f(x) = -infinie et pour la limite en +infinie, lim f(x) = 0 non ?

[invitefac5d115]

Oui tu as raison , maintenant tu peux trouver ton asymptote grâce à ces résultats..

[invite9207e68f]

Oui mais je ne vois pas comment trouver la :/

[invitefac5d115]

Utilises ceci : une droite D d'équation y=ax+b est asymptote a Cf en +infini ssi limite en +infini de f(x)-(ax+b)=0...Je te laisse conclure.

[invite9207e68f]

Non je ne vois vraiment pas, j'ai jamais fait ceci en cours !

[invitefac5d115]

Tu peux quand même trouver la réponse grâce a le définition que je t'ai donnée. Remplace par les éléments de l'énoncé...